Đố vui: Ba ông đi bán gà

MMột câu đố cực kỳ thú vị về 3 ông đi bán gà, câu đố đã lấy đi của thần đồng toán học Terence Tao đến tận 15 phút khi con ông hỏi.

Có 3 ông kia đi ra chợ bán gà. Ông thứ nhất có 10 con, ông thứ 2 có 16 con, ông thứ 3 có 26 con. Để không bán phá giá, vào đầu buổi sáng, 3 ông họp lại và thống nhất một giá bán. Đến trưa, cả 3 ông đều bán được gà nhưng không là bao, vì thế nên buổi chiều các ông ấy quyết định hạ giá bán gà xuống cùng một mức giá. Kết quả đến tối thì cả 3 ông đều bán hết gà. Số tiền các ông ấy thu được bằng nhau và đều bằng 35 USD. Hỏi giá bán lúc sáng và lúc chiều là bao nhiêu?

Gợi ý trước vài thắc mắc có thể phát sinh:

  • Gà được bán theo con chứ không phải theo cân nặng.
  • Tiền bán có thể lẻ, ví dụ 15.5 USD chẳng hạn.
Xem chi tiết lời giải gợi ý

Lời giải

Bây giờ, để giải bài toán này, ta cố gắng chuyển nó về dạng đại số, giảm bớt chữ đi sẽ dễ nhìn và suy nghĩ hơn. Dưới đây là gợi ý một cách giải của blog, có thể có những cách giải khác hay và ngắn gọn hơn.

Ta gọi

  • a,b,c lần lượt là số gà mà ông 1, 2, 3 bán được vào buổi sáng.
  • x,y lần lượt là giá bán gà buổi sáng và buổi chiều.

Theo đề bài ta có

  • Do lúc chiều giảm giá nên y<x
  • Dựa vào số gà lúc đầu của mỗi ông, ta suy ra

    (1)   \begin{align*}\begin{split}1 \le a \le 10\\1\le b \le 16\\1\le c \le 26 \end{split}\end{align*}

  • Dựa vào số tiền sau khi bán được hết số gà là 35 ta có

    (2)   \begin{align*}\begin{split} ax+(10-a)y&=35\\bx+(16-b)y&=35\\cx+(26-c)y &=35\end{split}\end{align*}

Từ (2) suy ra

(3)   \begin{align*}\begin{split} c&=\dfrac{35-26y}{x-y}\\b&=\dfrac{35-16y}{x-y}= c+\dfrac{10y}{x-y}\\a&=\dfrac{35-10y}{x-y} = c+\dfrac{16y}{x-y} = b+\dfrac{6y}{x-y}\end{split} \end{align*}

Lưu ý thêm, do a,b,c là số gà nên phải là số nguyên trong khi x,y là giá tiền nên không nhất thiết phải là số nguyên.

Đặt t=\dfrac{x}{y}-1>0 (do x>y), ta viết lại biểu thức của a,b,c ở trên như sau

(4)   \begin{align*}\begin{split} b&=c+\dfrac{10}{t}\\ a&=c+\dfrac{16}{t}=b+\dfrac{6}{t} \end{split} \end{align*}

Do a,b,c \in \mathbb{Z} nên suy ra \dfrac{6}{t},\dfrac{10}{t},\dfrac{16}{t} \in \mathbb{Z}. Xin nhắc lại, t ở đây không nhất thiết phải là một số nguyên.

Mặc khác ta lại có 1 \le a \le 10 nên \dfrac{16}{t} \le 10 hay \dfrac{6}{t} \le 3.75 (nhân hai vế cho \dfrac{6}{16}). Mặc khác \dfrac{6}{t} cũng nguyên nên ta suy ra

    \[\dfrac{6}{t} \in {1,2,3} \Rightarrow t \in \{6,3,2\}\]

Rõ ràng chỉ có t=2 là thoả yêu cầu vì ta phải có \dfrac{10}{t},\dfrac{16}{t} \in \mathbb{Z}. Suy ra x=3y. Thay vào (4), ta được

(5)   \begin{align*}\begin{split} a&=c+8\\b&=c+5\end{split}\end{align*}

Thay x=3y vào (3) ta được

(6)   \begin{align*}\begin{split} a&=\dfrac{35}{2y}-5\\b&=\dfrac{35}{2y}-8\\c&=\dfrac{35}{2y}-13 \end{split} \end{align*}

Kết hợp (6) và (1) ta suy ra 14\le \dfrac{35}{2y}\le 15 hay 1.2 \le y \le 1.25
Lại từ(6) ta có y = \dfrac{35}{2(c+13)}. Điều này dẫn đến

    \[1.2 \le \dfrac{35}{2(c+13)} \le 1.25\]

Sau vài phép biến đổi ta được

    \[1\le c \le 1.5\]

c \in \mathbb{Z} nên ta suy ra c=1 (tương ứng y = 1.25, x=3.75). Từ đó ta cũng có a=c+8=9, b=c+5=6

Kết luận

  • Giá bán buổi sáng là 3.75, buối chiều là 1.25,
  • Ông thứ nhất bán được 9 con gà buổi sáng và 1 con gà buổi chiều,
  • Ông thứ hai bán được 6 con gà buổi sáng và 10 con gà buổi chiều,
  • Ông thứ ba bán được 1 con gà buổi sáng và 25 con gà buổi chiều.
Math2IT

Math2IT

Đây là tác giả chung cho các bài viết không do trực tiếp tác giả cụ thể nào của Math2IT viết. Có thể đó là các bài dịch từ các bài viết nước ngoài hoặc các bài viết thiên về kỹ thuật và thông báo.