Các cách tạo ra số pi (kỳ 1)

S\pi là một trong những số kì diệu và có sức mạnh ghê gớm bậc nhất mà con người phát hiện ra. Chúng ta cùng đi tìm hiểu đôi chút về nó nhé mà cụ thể là các cách tìm ra nó càng chính xác càng tốt.

Cách 1 – chu vi đường tròn

Cách đầu tiên có thể minh họa bằng hình bên dưới. Ý tưởng của cách này dựa vào định nghĩa của số pi (tỷ lệ giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó, C=\pi d \Rightarrow \pi = \frac{C}{d}). Một đường tròn đường kính bằng 1, một sợi dây quấn đều xung quanh đường tròn vừa đủ và không trùng khích. Sau đó lăn đường tròn trên 1 đường thẳng. Chiều dài sợi dây (đồng thời là chu vi đường tròn) chính là giá trị của số \pi.

Cách 2 – giá trị phân số cố định

Pi là giá trị xấp xỉ của phân số \frac{22}{7}, hay nói chính xác hơn \frac{22}{7} là xấp xỉ của \pi. Nói xấp xỉ bởi vì \pi là một số vô tỷ, nghĩa là không thể được biểu diễn bởi tỷ lệ của hai số nguyên. Ngoài \frac{22}{7}, còn có các phân số khác như \frac{333}{106}, \frac{355}{113}, \frac{52163}{16604} hay \frac{103993}{33102}

\dfrac{22}{7} \simeq \pi

Cách 3 – biểu diễn bởi liên phân số

Vì như đã nói ở trên, pi hay các số vô tỷ khác, không thể biểu diễn bởi một phân số bình thường (chỉ gồm 1 tử và 1 mẫu số), pi có thể được biểu diễn bởi 1 liên phân số vô hạn.

\pi = \dfrac{4}{{1 + \dfrac{{{1^2}}}{{2 + \dfrac{{{3^2}}}{{2 + frac{{{5^2}}}{{2 + \dfrac{{{7^2}}}{{2 + \dfrac{{{9^2}}}{{2 + \ddots }}}}}}}}}}}} = 3 + \dfrac{{{1^2}}}{{6 + \dfrac{{{3^2}}}{{6 + \dfrac{{{5^2}}}{{6 + \dfrac{{{7^2}}}{{6 + \dfrac{{{9^2}}}{{6 + \ddots }}}}}}}}}} = \frac{4}{{1 + \dfrac{{{1^2}}}{{3 + \dfrac{{{2^2}}}{{5 + \dfrac{{{3^2}}}{{7 + \dfrac{{{4^2}}}{{9 + \ddots }}}}}}}}}}

Cách 4 – phép xấp xỉ đa giác

Thuật toán chặt chẽ đầu tiên được ghi chép để tính giá trị của \pi là một cách tiếp cận hình học sử dụng đa giác, được phát minh vào khoảng năm 250 tr. CN bởi nhà toán học người Hy Lạp Archimedes. Thuật toán đa giác của Archimedes thống trị suốt hơn 1000 năm, khiến cho \pi đôi khi được gọi là “hằng số Archimedes”. Archimedes đã tính toán các giới hạn trên và dưới của \pi bằng cách vẽ hai đa giác đều có cùng số cạnh, một nội tiếp và một ngoại tiếp với cùng một hình tròn, sau đó từ từ tăng số cạnh lên gấp đôi cho đến khi đạt đến đa giác đều 96 cạnh. Bằng cách tính chu vi của các đa giác này, ông chứng minh rằng \dfrac{223}{71}<pi<\dfrac{22}{7} (3,1408 <pi< 3,1429). Có thể chính cận trên \dfrac{22}{7} của phép tính đã dẫn đến việc nhiều người cho rằng \pi bằng \dfrac{22}{7}. Các nhà toán học, bằng cách sử dụng thuật toán đa giác, đã tính được tới chữ số thứ 39 của \pi vào năm 1630, một kỉ lục mà đến năm 1699 mới được phá vỡ khi chữ số thứ 71 được tính ra bằng phương pháp chuỗi vô hạn.

\pi có thể ước lượng bằng cách tính chu vi của các đa giác nội tiếp và ngoại tiếp đường tròn.

Cách 5 – chuỗi số vô hạn

Việc tính toán số pi được cách mạng hóa bởi sự phát triển kĩ thuật chuỗi số vô hạn trong các thế kỉ 16 và 17. Một chuỗi vô hạn là một tổng các số hạng của một dãy vô hạn. Chuỗi vô hạn cho phép các nhà toán học tính toán pi với độ chính xác lớn hơn nhiều độ chính xác đạt được từ phương pháp của Archimedes và các kĩ thuật hình học khác. Bản ghi chép đầu tiên mô tả một chuỗi vô hạn có thể tính toán số \pi nằm trong một bài thơ tiếng Phạn của nhà thiên văn Ấn Độ Nilakantha Somayaji trong tập Tantrasamgraha của ông, ra đời khoảng năm 1500. Một ví dụ blog chọn ra là chuỗi Gregory-Leibniz bên dưới:

\dfrac{\pi }{4} = 1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{11}} + ...

Từ khoá tiếng Anh để tìm kiếm bài này : How to find the pi number? How to make the pi number? There are some ways to find or make a pi number.
Đinh Anh Thi

Đinh Anh Thi

Sáng lập Math2IT. Hiện Thi đang là nghiên cứu sinh tại Pháp về chuyên ngành Toán Ứng Dụng. Anh mong muốn tổng hợp và chia sẻ kiến thức Toán thực tế, Khoa học ứng dụng và Tin học thường thức đến tất cả mọi người dưới dạng dễ tiếp cận và tự nhiên nhất.