Toán học

Chuyện Toán học: Có phải ngẫu nhiên?

SSố pi là một con số của tự nhiên trong khi những cách để tìm ra nó thì do con người “phát hiện ra”. Trong những cách ấy có những cách ta không hề nghĩ rằng nó có thể liên hệ với pi, vậy đó là điều ngẫu nhiên hay là một sự sắp đặt của tạo hóa? 

Chúng ta đều biết rằng chiều dài của một đường tròn (kí hiệu là C) bất kì chia cho đường kính (kí hiệu là d) của nó luôn là một hằng số kí hiệu là \pi và đọc là pi. Điều này có nghĩa là cho dù đường tròn của bạn có to như vũ trụ hay nhỏ như nguyên tử thì \pi vẫn không thay đổi và nó là một số vô tỉ, được viết dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn là 3.14159…

Xin được nói trước, câu chuyện tôi kể dưới đây không chính xác về mặt lịch sử nhưng bạn hãy nương vào nó để được một phen kinh ngạc.

Cái kim của Buffon

Một đêm của năm 1777, tại một tòa nhà sang trọng ở thủ đô Paris của nước Pháp có một nhóm người đang xúm xít quanh một tờ giấy lớn có kẻ những đường thẳng song song cách đều nhau và kì lạ là họ đang thay phiên ném những chiếc kim vào tờ giấy đó theo ý muốn của vị chủ nhà.

Thưa Bá tước, 33 cắt và 77 không” – một vị khách lên tiếng.

Ở gần đó, một ông già tầm bảy mươi tuổi liền ghi chép những con số vào một tờ giấy đang cầm trên tay. Ông ấy chính là ngài Bá tước Buffon, chủ nhân của ngày hôm ấy.

Ồ, cảm ơn các vị đã giúp tôi! Tôi nghĩ bao nhiêu đây cũng đủ cho chúng ta rồi!” – ông Bá tước lên tiếng.

Sau đó Buffon cuối xuống tính toán gì đó trên tờ giấy, mất một lúc thì lại nói tiếp:

Tổng cộng có 2212 lần ném và trong đó có 704 lần kim giao với các đường thẳng. Vậy là chúng ta có số \pi gần bằng 3,142 chính là tỉ lệ giữa 2212 và 704.

Khi Boffon nói xong, mọi người có mặt ở đó đều ngơ ngác, đưa mắt nhìn nhau, đó là những ánh mắt tràn đầy nghi hoặc nhưng cũng có những đôi mắt lại tràn đầy hứng thú. Mất một lúc lâu, rồi như không nén được tò mò, họ cùng hướng về Buffon chờ đợi từ ông một lời giải thích. Ngay lúc ấy, các khách mời đều nhận ra ở con người ấy một sự kêu hãnh đang ngự trị trong tâm hồn. Ông Bá tước già rảo cặp mắt sáng hoắt của mình một lượt quanh căn phòng ấm cúng rồi bắt đầu nói:

Mọi chuyện là như thế này…

Nếu đọc đến đây mà bạn không thốt lên đầy ngỡ ngàng “việc ném kim thì có liên quan gì đến số \pi?” thì tôi cược là bạn đã từng nghe qua câu chuyện này rồi. Tôi không biết chính xác ngày hôm ấy Buffon đã giải thích cho những vị khách của ông ấy như thế nào nhưng dưới đây tôi xin trình bày cơ sở Toán học giải đáp cho điều tuyệt vời trong câu truyện trên.

Giả sử a là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song liền kề trên tờ giấy và b là chiều dài của những cây kim sao cho b < a. Gọi x là khoảng cách từ trung điểm của kim đến đường thẳng gần nó nhất và gọi  \theta là góc hợp bởi kim và các đường thẳng. Ta có hình minh họa như sau:

Khi một cây kim đã nằm trên tờ giấy thì vị trí của nó với đường thẳng gần nó nhất được xác định bởi hai tham số là x\theta. Với \Omega là không gian mẫu của phép thử và A là sự kiện cây kim cắt một đường thẳng, ta có

 \Omega = \left \{(x,\theta) \big\vert 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{a}{2}, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi\right \}

 A= \left \{(x,\theta) \big\vert 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{b}{2} \sin \theta , 0 \leqslant \theta \leqslant \pi\right \}

Do đó xác suất của sự kiện  A được tính bởi công thức

 P(A) = \dfrac{\text{Dien tich mien }A}{\text{Dien tich mien }\Omega} = \dfrac{\displaystyle\int_0^{\pi}\dfrac{b}{2}\sin\theta d \theta}{\dfrac{a}{2}\pi} = \dfrac{2b}{a\pi} \quad (1)

Hình minh họa cho miền A và miền Ω

Mặt khác, ta biết rằng khi gieo những cây kim với n lần đủ lớn và trong số đó có m lần cắt các đường thẳng thì theo luật số lớn, xác suất của sự kiện A được tính bởi công thức

P(A) \approx \dfrac{m}{n} \quad (2)

Từ hai công thức (1) và (2), ta suy ra

\pi\approx \dfrac{2b}{a} \dfrac{n}{m} \quad (3)

Với công thức (3) ta biết được trong câu truyện đã kể ngài Buffon sử dụng những chiếc kim có chiều dài bằng một nửa khoảng cách giữa hai đường thẳng song song liền kề nhau.

Một ít tiểu sử của Buffon

Bá tước Buffon (1707-1788)

Bá tước Buffon hay đúng hơn là Bá tước của xứ Buffon là một nhà Bác học người Pháp, tên thật của ông là Georges Louis Leclerc. Ông sinh ngày 07 tháng 09 năm 1707 tại Monbard, Côte d’Or, Pháp và mất vào ngày 16 tháng 04 năm 1788 tại Paris. Buffon nổi tiếng với vai trò là một nhà tự nhiên học nhưng thời trẻ ông có niềm đam mê với toán học mặc dù khi đó ông đang theo đuổi tham vọng của cha mình là trở thành một luật sư. Từ năm 1739, Buffon trở thành người quản lí của Vườn Thực Vật Hoàng Gia (Jardin du Roi) và ông làm việc ở đây cho đến cuối đời. Tác phẩm nổi tiếng nhất của Buffon là Histoire Naturelle (Lịch Sử Tự Nhiên, 1749 – 1785) trình bày mọi vấn đề về thiên nhiên từ con người, động vật, thực vật tới khoáng vật. }

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Bá Đô và Nguyễn Hồng Minh, Các câu chuyện Toán học, Tập 1: Tất nhiên trong ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Giáo Dục (2003).
[2] X. M. Nicolxki (chủ biên), Từ điển Bách khoa phổ thông Toán học 2, Nhà xuất bản Giáo Dục (2002).
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Buffon%27s_needle
[4] mste.illinois.edu/activity/buffon/

Nguyễn Tấn Nhựt

Nguyễn Tấn Nhựt

Anh hiện là một cộng tác viên viết bài cho Math2IT.com. Anh chưa chia sẻ thông tin gì về mình.

Muốn nói gì không bạn ơi?

Cho cái nhận xét đầu tiên nào!

Thông báo của
avatar
wpDiscuz