[Kỳ 1] Hiểu về khái niệm ‘giới hạn’ trong toán học

Trong Toán học, khái niệm “giới hạn” được sử dụng để chỉ giá trị mà một hàm số hoặc một dãy số tiến gần đến khi biến số tương ứng tiến gần đến một giá trị nào đó. Tuy nhiên khái niệm trừu tượng này khá khó để có thể tiếp thu. Bài viết hy vọng phần nào giúp bạn hiểu vì sao lại có khái niệm này trong toán học và mối liên hệ thực tế của nó ra sao.

Ta bắt đầu đi vào tìm hiểu khái niệm giới hạn (limit) trong toán học thông qua các nghịch lý đến từ thực tế cuộc sống.

Nghịch lý Zénon

Triết gia Hy Lạp, Zénon xứ Elea
(490 BC – 430 BC)

Để có thể đi vào hiểu rõ tại sao lại có khái niệm “giới hạn” trong toán học (limit hay viết tắt là lim) ta hãy cùng nhau tìm hiểu hai câu chuyện nghịch lý của Zenon. Câu chuyện đầu tiên nói về vị thần Achilles (tiếng Việt thường gọi là Asin) – mệnh danh là vị thần có thể di chuyển với tốc độ nhanh nhất mà cả thế gian không ai bằng trong thần thoại Hy Lạp. Câu chuyện thứ hai nói về cách một mũi tên đi đến đích nhưng không bao giờ tới được.

Câu chuyện 1 – Achilles chạy đua cùng rùa

Một ngày nọ, thần Achilles chạy thi với một con rùa. Do được mệnh danh là thần về tốc độ nên Achilles nhường rùa một đoạn, Achilles ở tại x_1, rùa ở tại x_2. Cả hai xuất phát cùng một lúc, theo cùng một hướng và nhiệm vụ của thần Achilles là phải đuổi kịp con rùa.

Chỉ trong nháy mắt, không mấy khó khăn, Achilles đến được x_2. Thế nhưng dù rùa chạy chậm thì vận tốc của nó vẫn lớn hơn 0 và nó đi đến được x_3. Tiếp tục, Achilles đuổi đến x_3 thì rùa đến x_4, Achilles đuổi đến x_4 thì rùa đến x_5,…

Cứ tiếp tục như thế, các điểm này luôn luôn tồn tại và như thế thì Achilles, một vị thần về tốc độ lại không đuổi kịp một con rùa. Điều này là vô lý theo lẽ thường tình, nhưng hoàn toàn không có gì mâu thuẩn trong lập luận trên, vậy điều gì đang diễn ra?

Câu chuyện 2 – Mũi tên không bao giờ trúng đích

Ta bắn một mũi tên đến bia. Nếu đặt vị trí chỗ xuất phát tên là A_0, bia là B.

Mũi tên muốn đến được bia thì phải đi qua trung điểm A_1 của A_0. Từ A_1 muốn đến được B phải qua trung điểm A_2 của A_1B. Từ A_2 muốn đến B phải qua trung điểm A_3 của A_2B,…

Cứ tiếp tục như vậy, mũi tên phải lần lượt qua trung điểm của các đoạn thẳng chia nhỏ, mà số điểm trong một đoạn thẳng là vô hạn nghĩa là mũi tên phải đi qua vô hạn điểm, đồng nghĩa với việc không bao giờ đến được đích.

Nhận xét

Ta bắt đầu tìm hiểu sự hình thành nên khái niêm giới hạn từ hai câu chuyện thú vị trên, bắt đầu với hai nhận xét:

  • Thứ nhất, hai câu chuyện trên đều có thể xảy ra trong thực tế và chính điều đó đã làm cho chúng trở thành nghịch lý nổi tiếng. Hoàn toàn không có thủ thuật hay mẹo vặt gì ở đây như các câu đố vui mà bạn hay gặp phải.
  • Thứ hai, cũng từ thực tế, Achiles không thể nào không thể chạy bằng rùa, và kết quả là anh ta sẽ chạy được đến đúng chỗ con rùa đang đứng. Cũng như mũi tên không có chuyện bay mãi mà không ghim vào tường. Thực tế chắc chắn nó sẽ đến được đích.

Phải thừa nhận rằng, giới hạn không phải phát minh từ trên trời rơi xuống mà con do con người tự tạo ra để đem lại những điều vui thú mang tính chất giải trí. Con người đã góp phần “phát hiện” ra định nghĩa này.

Cũng như toán học, mọi định nghĩa, định lý, công thức,… đều có ý nghĩa của nó và đều đến từ cuộc sống. Cái khác mà tôi muốn khẳng định ở đây chính là con người bắt đầu nhận thấy sự tồn tại của toán học, mô tả những thứ mà họ thấy được, tìm ra những quy luật cơ bản nhất để rồi từ đó dùng chúng để dự đoán “tương lai”, dự đoán ra cả những quy luật mà chính chúng ta cũng chưa phát hiện được.

Chính những kết quả dự đoán đó nó quá xa lạ với chúng ta nên đã làm cho chúng ta nghĩ rằng toán học làm ra những điều vô nghĩa, lý thuyết và sáo điều. Chỉ đến khi những dự đoán đó trở nên hữu dụng và làm cho chúng ta quen thuộc, ta bắt đầu chấp nhận và nhận ra “ồ, có lẽ nó cũng có chút hữu ích”. Đó chính là toán học. Một chút tản mạn.

Ý tưởng cơ bản về khái niệm giới hạn theo nghĩa toán học từ hai ví dụ trên là gì? Tính khả thi và thực tế của nó ra sao?

Ta xét ví dụ về mũi tên, nếu ở thời điểm bắt đầu bắn, khoảng cách giữa mũi tên và bia là x_0=a>0.

  • Lần 1: mũi tên đến được trung điểm của A_0B, khi ấy khoảng cách là x_1=\frac{a}{2}>0
  • Lần 2: mũi tên đến được trung điểm của A_1B, khi ấy khoảng cách là x_2=\frac{a}{2^2}>0
  • Lần 3: mũi tên đến được trung điểm của A_2B, khi ấy khoảng cách là x_3=\frac{a}{3}>0
  • Lần thứ n: mũi tên đến được trung điểm của A_{n-1}B, khoảng cách là x_n=\frac{a}{2^n}>0

Đến đây bạn nghĩ mũi tên có dừng lại không? Xin thưa là không, nó vẫn cứ tiếp tục bay đi, bay mãi. Ở đây ta đang xét đến thực tế là khoảng cách giữa người cung thủ và bia không quá xa, vì nếu nó quá xa, lực bắn không đủ thì do trọng lực, mũi tên sẽ rơi giữa đường. Thực tế là mũi tên vẫn ghim thẳng vào bia, khi ấy có nghĩa nó cứ qua trung điểm, rồi qua trung điểm, mãi như vậy. Hay nói cách khác, ta không có lần thứ n cố định, n của ta sẽ lớn mãi lớn mãi. Các nhà khoa học khi ấy nói rằng n sẽ tiến về vô tận (ký hiệu là n\to \infty). Và thực tế chứng minh rằng khoảng cách đến một lúc nào đó sẽ bằng 0 (mũi tên trúng đích).

Tóm lại, khi số lần n (qua trung điểm) cứ lớn mãi, lớn mãi, nó sẽ đạt được mục đích của nó là khoảng cách sẽ bằng 0. Ta gọi 0 đây là giới hạn của khoảng cách x_n khi n\to \infty (n cứ lớn mãi). Giới hạn này tồn tại vì thực tế chỉ ra mũi tên chắc chắn trúng đích.

Sở dĩ ta nhắc tới cụm từ giới hạn tồn tại ở đây vì sẽ có trường hợp giới hạn không tồn tại, chúng ta sẽ tìm hiểu sau.

Khi ấy các nhà khoa học ký hiệu cho ngắn gọn trong toán học là

\lim_{n\to \infty}(x_n) = \lim_{n\to \infty}\left({\dfrac{a}{2^n}}\right)=0

có nghĩa là giới hạn của (dãy) x_n khi n\to \infty0.

Nghịch lý đường tròn

Xét một đường tròn và một đa giác đều nội tiếp đường tròn ấy (Hình bên dưới). Số cạnh đa giác tăng từ n=3,4,5,6,\ldots

Bạn có nhận xét gì về đa giác n cạnh ấy nếu như số cạnh n cứ không ngừng tăng lên, tăng mãi mãi đến vô tận?

Rõ ràng, khi n không ngừng tăng lên thì đa giác sẽ càng ngày càng trở thành hình tròn mà nó nội tiếp. Điều này cũng không quá khó để tưởng tượng. Khi ấy ta nói giới hạn của đa giác khi n tiến tới vô tận sẽ là đường tròn.

\lim_{n\to \infty}(đa giác) = đường tròn.

Thật ra thực tế ta vẫn rất khó chấp nhận rằng “làm sao mà một đa giác góc cạnh thế kia lại có thể trơn mượt như đường tròn được?” Nhưng khi nhìn lại, bạn cũng không thể nào tưởng tượng được là n đi đến vô tận nghĩa là nó đi đến đâu? Nó sẽ mãi lớn lên, không có một số nào đủ lớn để nói rằng n sẽ tới số đó. Nếu bạn chọn n=100000 thì sẽ lại có n=100000+1 lớn hơn. Chính vì ta không thể tưởng tượng được là đi đến vô cùng nó như thế nào nên chắc chắn ta cũng không thể nào tưởng tượng được đa giác góc cạnh lại mượt mà thành đường tròn nó ra sao.

Tuy nhiên, giống như ví dụ về mũi tên bay mãi, ở đây số cạnh n sẽ lớn mãi. Ta sẽ xét một thực tế. Thực tế mũi tên trúng đích, còn ở đây thực tế đa giác sẽ trở thành hình tròn. Nếu xét một cách tổng quan, mắt thường sẽ cho bạn kết quả ấy khi độ góc cạnh của đa giác vượt qua giới hạn phân biệt của mắt và ta sẽ thấy đó là một đường tròn chứ không phải là một đa giác nữa.

Từ cái nhìn trên, các nhà toán học đã nảy sinh ra ý tưởng để tính chu vi hình tròn, điển hình là Archimedes (287-212, TCN). Rõ ràng khi ta chỉ cần đo độ dài các cạnh của đa giác và cộng lại thì nó cũng chính là chu vi đường tròn nếu số cạnh tăng lên rất lớn. Archimedes đã làm đúng như vậy, ông đã thử với một đa giác số cạnh lớn và đo xem chu vi đa giác ấy là bao nhiêu từ đó suy ra chu vi của đường tròn. Cần chú ý rằng, ở thời của ông hoàn toàn chưa biết tới số \pi hay định nghĩa giới hạn.

Bạn cũng được học rằng chu vi đường tròn chính là

chu vi đường tròn = 2\pi \times bán kính đường tròn.

Từ công thức này bạn có thể sẽ biết được giá trị của số \pi nếu biết chu vi đường tròn và bán kính của nó. Đây cũng là cách các nhà toán học đi tìm giá trị của số pi bằng cách thử với số cạnh đa giác n rất lớn. Chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ hơn các nhà khoa học từ xưa đến nay đã làm những cách gì để tìm được càng nhiều số chữ số thập phân chính xác sau dấu phẩy của số \pi, cũng như biết được con số quyền lực này là gì ở loạt bài khác của Hiểu toán học.

Ví dụ về một số chữ số chính xác phía sau dấu phẩy của số \pi. Chú ý rằng cho đến nay số lượng chữ số phía sau được tìm thấy bằng nhiều phương pháp đã lên tới một con số vô cùng lớn và không có dấu hiệu chững lại.

\pi = 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058\ldots

Nghịch lý 0,999…=1

Chúng ta cùng xét thêm một ví dụ đơn giản nhưng “đầy tranh cãi” khác. Khi lấy 1 chia cho 3, bạn sẽ thu được một số thập phân vô hạn tuần hoàn ở dạng sau

\dfrac{1}{3}=0,333333\ldots = 0,(3)

Từ đó ta suy ra

3\times \dfrac{1}{3} = 3 \times 0,33333\ldots

hay

1=0,9999999\ldots

Làm sao mà 1 lại có thể bằng 0,99999\ldots được? Thật khó để hình dung điều này. Tuy nhiên, chính vì đây là số thập phân vô hạn (tuần hoàn) nên theo ý tưởng về giới hạn, điều ấy hoàn toàn có thể chấp nhận được. Số con số 9 ở phần thập phân là vô hạn, bạn không thể hình dung nó lớn đến cỡ nào, chỉ biết rằng, nếu số con số 9 ấy đạt đến ngưỡng “vô hạn” thì giá trị của 0,99999\ldots sẽ là 1. Hay ký hiệu lại

\lim_{n\to \infty}0,9999...9 (n số 9) = 1

Khi ấy, cái THỰC TẾ ở đây là giới hạn đó tồn tại, tức 0,99999\ldots của chúng ta bằng 1.

Ý tưởng hình thành về giới hạn như đã đề cập ở trên có liên hệ như thế nào với định nghĩa toán học chính xác của nó? Mời bạn theo dõi kỳ tiếp theo.

Đinh Anh Thi

Đinh Anh Thi

Sáng lập Math2IT. Hiện Thi đang là nghiên cứu sinh tại Pháp về chuyên ngành Toán Ứng Dụng. Anh mong muốn tổng hợp và chia sẻ kiến thức Toán thực tế, Khoa học ứng dụng và Tin học thường thức đến tất cả mọi người dưới dạng dễ tiếp cận và tự nhiên nhất.

  • ngọc

    nó có ứng dụng gì cho cuộc sống, ngành nghề nào ạ?

    • Bạn chờ các kỳ sau nhé 🙂

  • wachdai

    Good job! Keep moving! Can’t wait next post

  • ken

    tks

  • ngoc

    sao e không thấy kì 2 ah

    • Math2IT

      Hiện tại trang đang hoàn thiện nha bạn, do hơi bận nên viết hơi chậm, bạn thông cảm nhé. Nếu muốn bạn để lại email, mình sẽ thông báo cho bạn khi bài mới xuất bản. 🙂