[Kỳ 2] Hiểu ý nghĩa thực tế của phương trình Navier–Stokes

Ở kỳ này chúng ta sẽ đi vào nội dung chính của bài viết, giải thích ý nghĩa thực tiễn của các đại lượng trong phương trình Navier-Stokes.

Xem lại : Kỳ 1.

Như được giới thiệu trong [1], phương trình Navier-Stokes (N-S) có thể được xem như là hệ quả của Định luật 2 Newton. Đối với các vật chất rắn (solid), định luật này được biểu diễn dưới dạng F=ma trong đó lực F là tích của khối lượng m của vật với gia tốc a của vật đó. Còn đối với các thể liên tục (nước, lửa, không khí,…), ta có phương trình tương ứng của Định luật 2 Newton

Xem thêm Các định luật Newton về chuyển động

Tham khảo wikipedia, ta có ý tưởng cơ bản các định luật Newton về chuyển động như sau

  1. Định luật 1 : Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực có hợp lực bằng không thì nó giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
  2. Định luật 2 : Gia tốc của một vật cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật, F=ma
  3. Định luật 3 : Trong mọi trường hợp, khi vật A tác dụng lên vật B một lực, thì vật B cũng tác dụng lại vật A một lực. Hai lực này có cùng giá trị, cùng độ lớn, nhưng ngược chiều.

Phương trình N-S

(1)   \begin{align*}  \rho\left[\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u}\right] = \nabla \cdot \sigma + f.  \end{align*}

  • \rho : mật độ (density) của chất lưu, tương đương với khối lượng của vật trên một đơn vị thể tích.
  • \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u} : gia tốc.
  • \mathbf{u} : vận tốc.
  • \nabla\cdot \sigma : ứng suất trượt (shear stress), lực tác dụng đồng phẳng trên các bề mặt cắt ngang. Các thành phần vector lực chạy song song với bề mặt cắt ngang.
  • f : ta xem như là một lực (force) chứ không phải là một đại lượng vô hướng (scalar) hay một trường vector (vector field)

Chúng ta cũng có thể viết lại (1) dưới dạng như sau

(2)   \begin{align*}  \rho\left[\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u}\right] = -\nabla p + \mu\nabla^2 \mathbf{u}+f.  \end{align*}

  • p : áp suất (pressure).
  • \mu : độ nhớt động lực (viscosity), thước đo sự phản kháng của chất lưu chống lại tác dụng của ứng suất trượt.

Sau khi chia hai vế của (2) cho \rho và trừ đi \mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u}, ta có dạng truyền thống của phương trình N-S như sau [2]

(3)   \begin{align*}  \dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = - (\mathbf{u}\cdot \nabla)\cdot \mathbf{u} - \dfrac{1}{\rho}\nabla p + \mu\nabla^2 \mathbf{u} + f.  \end{align*}

Ý nghĩa thực tế của các thành phần

Nhìn vào phương trình trên, ta thấy sự thay đổi của vận tốc \mathbf{u} theo thời gian (\dfrac{\partial\mathbf{u}}{\partial t}) phụ thuộc vào 4 thành phần dưới đây.

1 Thành phần đầu tiên là lượng - (\mathbf{u}\cdot \nabla)\cdot \mathbf{u}. Thành phần này cho thấy được làm cách nào mà divergence có thể tác động lên đại lượng vận tốc \mathbf{u}. Dễ hình dung nhất chính là liên tưởng đến một con sông. Nếu trên dòng chảy của dòng sông ấy có một chỗ hình giống một cái phễu, nghĩa là nó hẹp lại ở một điểm nào đó. Ta thấy rằng tốc độ dòng chảy sẽ tăng lên ở chỗ hẹp ấy và ngược lại, nếu dòng sông phân tán ra khỏi phễu theo hướng rộng ra, lượng nước sẽ tăng nhưng tốc độ dòng chảy sẽ bị giảm lại, xem thêm hình bên dưới. Đại lượng - (\mathbf{u}\cdot \nabla)\cdot \mathbf{u} miêu tả cho điều ấy.

 

2 Thứ hai đó là lượng - \dfrac{1}{\rho}\nabla p. Có thể hiểu nôm na lượng này miêu tả ảnh hưởng của áp suất lên sự thay đổi của các phần tử chất lưu. Cụ thể hơn, dòng chảy có khuynh hướng đi về nơi có áp suất thấp hơn từ nơi có áp suất cao.

Để dễ hình dung, ta xét một đàn chim đang bay với nhau đóng vai là tập hợp chất lưu với các phần tử chất lưu là các chú chim. Đàn chim ấy bị tấn công bởi một con đại bàng đón vai là áp suất \rho. Những chú chim sẽ muốn di chuyển tản ra xa con chim đại bàng kia (tản ra khỏi nơi có áp suất cao). Nếu mật độ các chú chim bay gần nhau càng lớn, tức các chú chim càng khó bay tản ra xa nhau và ngượ lại, nếu mật độ đàn chim càng thưa, chúng càng dễ dàng thoát thân hơn khi con đại bàng tấn công.

Chúng ta xét thêm một ví dụ khác. Giả sử ta có một cục đất sét và một miếng gạch lót nhà. Dùng tay ấn một lực thật mạnh xuống cả hai. Với cục đất sét, mật độ thưa hơn mật độ của miếng gạch nên nó bị làm cho biếng dạng dưới tác dụng của lưc, khi ấy các phần tử tạo nên đất sét bị tản ra xa khỏi nơi ta ấn lực tay xuống. Trong khi miếng gạch mật độ quá dày đặc nên hầu như ta không thấy điều gì xảy ra cả.

3 Bây giờ ta xét tới \mu\nabla^2 \mathbf{u}. Hai thành phần chính là \mu và toán tử \nabla^2. Sẽ rất khó để hình tượng hóa các đại lượng này nhưng hãy nghĩ đến chúng như là sự khác nhau giữa các phần tử và các ông hàng xóm của nó. Ví dụ như ta so sánh giữa sirô (chất lỏng với độ nhớt cao) và nước (chất lỏng với độ nhớt bé hơn), một muỗng sirô đặc khi các phần tử di chuyển sẽ kéo các phần tử khác di chuyển theo, còn với nước thì điều này khó hơn vì độ nhớt của nó thấp hơn, xem hình dưới.

4 Và đại lượng cuối cùng f, như đã nói ở trên, nó là lực tác động lên chất lưu đang xét.

Vậy là chúng ta đã hiểu được ý nghĩa vật lý của từng thành phần trong phương trình Navier Stokes rồi đấy.

Tài liệu tham khảo

[1] Bakker, Andre. “Computational Fluid Dynamics.” Lecture 4 – Classification of Flows. N.p., 2006. Web. 14 May 2012.
[2] Stam, Jos. “Stable Fluids.” Alias|wavefront, n.d. Web. 14 May 2012.

Xem bài khác trong cùng series<< [Kỳ 1] Hiểu ý nghĩa thực tế của phương trình Navier–Stokes
Math2IT

Math2IT

Đây là tác giả chung cho các bài viết không do trực tiếp tác giả cụ thể nào của Math2IT viết. Có thể đó là các bài dịch từ các bài viết nước ngoài hoặc các bài viết thiên về kỹ thuật và thông báo.