[Kỳ 1] Hiểu ý nghĩa thực tế của phương trình Navier–Stokes

Phương trình Navier-Stokes, được đặt tên theo Claude-Louis Navier George Gabriel Stokes, miêu tả dòng chảy của các chất lỏng và khí (gọi chung là chất lưu). Bài viết trích dịch từ giáo trình dạy môn học cùng tên của Steven Dobek.

Đôi dòng mở đầu

Đã từ lâu bạn tự hỏi các hiện tượng tự nhiên gắn liền với Toán học ở chỗ nào? Phương trình N-S này là một trong những câu trả lời dành cho bạn. Phương trình này miêu tả chuyển động của dòng chảy chất lỏng và khí trong tự nhiên, thường được nhắc tới nhiều trong động lực học chất lưu (Fluid Dynamics). Dựa vào phương trình này, tuỳ vào từng trường hợp cụ thể trong thực tế, ta sẽ có những giá trị tương ứng cho các biến trong phương trình. Sau đó dùng phương pháp số kết hợp lập trình dựa trên phương trình này, ta sẽ có những hình vẽ mô phỏng chuyển động của chất lưu. Từ đó ta có thể dự đoán, thay đổi giá trị và quan sát chỉ đơn giản bằng phần mềm mà không cần thực nghiệm thực tế.

Có thể liệt kê một số hiện tượng/sự vật thực tế có sự hiện diện của phương trình N-S như:

  • Nhiệt lượng lưu thông khi một chiếc máy bay đang bay
  • Dòng suối đang chảy qua những cục đá
  • Bạn rót nước vào một chiếc bình và quan sát chuyển động của dòng chảy
  • Luồng khí di chuyển trong một số sự vật hiện tượng

Bạn có thể xem hai video mô phỏng phương trình N-S như bên dưới

Xem video

Tuy nhiên một câu hỏi lớn xuất hiện, làm sao hai nhà Vật Lý học trên lại có thể “biên dịch” một hiện tượng phức tạp như thế chỉ nhờ một phương trình ngắn gọn? Các thành phần trong phương trình có ý nghĩa gì trong thực tế? Ta bỏ chúng đi được không? Bài viết này sẽ cố gắng trả lời các câu hỏi đó.

Bài viết sẽ tiếp tục đi vào phần chính của loạt bài. Ở phần này sẽ nói đôi phần thiên về mặt Toán học lý thuyết làm bước đà chuẩn bị cho việc giải thích ý nghĩa thực tế của phương trình N-S.

Nội dung chính của lý thuyết Toán học cần biết để đi vào hiểu rõ hơn về phương trình NS chính là trường vector (vector field). Một trường vector được hiểu là một ánh xạ từ mỗi điểm trong không gian thực 2 hoặc 3 chiều vào một vector. Mỗi vector này có thể xem là tích của một vector đơn vị có hướng (directional unit vector) với một đại lượng vô hướng (scalar). Trong động lực học chất lưu (fluid dynamic), giá trị của một trường vector tại một điểm có thể được xem là vận tốc tại điểm đó (velocity). Trường vector rất cần thiết cho động lực học chất lưu vì nhờ nó mà ta có thể hình tượng hóa được đường đi của chất lưu tại bất kỳ điểm nào.

Ví dụ như hình trên (nguồn), bạn có 1 bể nước hình chữ nhật, dưới con mắt toán học, thay vì nhìn bể là 1 dạng liên tục của các điểm (các điểm khít nhau vô tận), bạn có thể làm “thưa” chúng đi. Tại mỗi điểm đó, ta sẽ thấy các trường vector được biểu diễn bởi những mũi tên, đó cũng là hướng di chuyển của dòng chảy tại điểm đó. Sau đó, ta tăng dần mật độ các điểm này lên đến vô tận, hay nói cách khác, ta sẽ dần tiến về thực tế của cái bể hình chữ nhật này.

Phép tính vector

Phép tính vector (Vector calculus) là một nhánh của toán học bao gồm các phép tính vi phân (differentiation) và tích phân (integration) trên trường vector. Trong mục này, tôi sẽ giới thiệu một chút về lĩnh vực này. Đầu tiên tôi bắt đầu với một toán tử (operator) rất quan trọng trong toán học, đó là del (ký hiệu là \nabla). Del được định nghĩa là đạo hàm riêng của một vector.

\nabla = i\dfrac{d}{dx} + j\dfrac{d}{dy} + k\dfrac{d}{dz}

, trong đó i,j,k là vector đơn vị trong hệ trục tọa độ thực 3 chiều.

Gradient

Với toán tử này, đầu tiên ta phải kể đến phép toán gradient, đây là phép toán cho biết tốc độ và hướng thay đổi của một đại lượng vô hướng (scalar field) tại mọi điểm. Gradient biến một đại lượng vô hướng thành một đại lượng vector (có hướng).

\nabla f = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial f}{\partial z} \right) = \nabla(f)

Xem ví dụ

Ví dụ như nếu f(x,y,z) = x^3+2y^2+z thì

\nabla f = \left( 3x^2, 4y, 1 \right)

Hiểu kết quả trên như thế nào? Ví dụ ta xét tại điểm (1,1,0) thì tại đấy có 1 vector chỉ hướng và vận tốc của “dòng chảy” f\nabla f (1,1,0) = (3\times 1^2,4\times 1^2,1) = (3,4,1).

Lưu ý rằng gradient chỉ tác động trên một trường vô hướng, hay \nabla(đại lượng vô hướng)

Curl

Tiếp theo ta xét đến curl, phép toán miêu tả khuynh hướng xoay quanh một điểm của một trường vector. Curl sẽ biến một đại lượng vector thành một đại lượng vector khác. Với một vector F, ta định nghĩa

\operatorname{curl}(F) = \nabla \times F

Giả sử vector F = (F_1,F_2,F_3) = F_1i + F_2j +F_3k, thì khi đó \operatorname{curl}(F) sẽ được ký hiệu hình thức dưới dạng một định thức

 \begin{vmatrix} i & j & k \\ \dfrac{d}{dx} & \dfrac{d}{dy} & \dfrac{d}{dz} \\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}

Xem ví dụ

Ví dụ cụ thể, F=(F_1,F_2,F_3) = (x,-xy,z^2), sử dụng định thức trên ta có

\nabla \times F = \left(\dfrac{dF_3}{dy}-\dfrac{dF_2}{dz} \right)i - \left(\dfrac{dF_3}{dx}-\dfrac{dF_1}{dz} \right)j + \left(\dfrac{dF_2}{dx}-\dfrac{dF_1}{dy} \right)k = -yk = (0,0,-y)

Hiểu kết quả trên như thế nào? Ví dụ ta xét tại điểm (1,1,0) thì tại đấy có 1 vector chỉ độ xoáy của “dòng chảy” F\nabla \times F (1,1,0) = (0,0,-1).

Lưu ý rằng curl chỉ tác động trên một trường vector, hay \nabla\times (đại lượng vector)

Divergence

Thứ ba, ta sẽ xét đến phép toán divergence, đây là phép toán cho biết độ lớn một nguồn phát (source) hoặc một nguồn thu (sink) tại một điểm trong trường vector. Nói như thế hơi khó hiểu, bạn có thể tưởng tượng nguồn phát (source) là nơi các dòng chảy đi ra (thượng nguồn). Còn nguồn thu (sink) giống như một hố sâu thăm thẳm hút các dòng chảy vào.

Divergence biến một đại lượng vector thành một đại lượng vô hướng. Với vector F, ta định nghĩa divergence bởi ký hiệu sau

\operatorname{div}(F) = \nabla \cdot F = \dfrac{dF_1}{dx} + \dfrac{dF_2}{dy} + \dfrac{dF_3}{dz}

Vì kết quả của divergence là một đại lượng vô hướng (hay nói nôm na nó là một giá trị cụ thể) thì nó chỉ có một trong hai giá trị hoặc là dương hoặc là âm. Nếu tại bất kỳ điểm nào đó trong không gian, \operatorname{div}(F) cho giá trị dương, ta biết rằng tại điểm đó, dòng chảy sẽ không ngừng tuôn ra với mức độ là giá trị của |\operatorname{div}(F)| (có một outflow tại điểm đó). Ngược lại, nếu giá trị là âm, thì dòng chảy sẽ bị hút vào với cường độ là |\operatorname{div}(F)| (có một inflow tại điểm đó).

Xem ví dụ

Ví dụ như hình trên đây, nếu F=(x,y) (hình góc trên bên trái) ta tính được \operatorname{div}(F) = 1+1=2>0 nên các dòng chảy không ngừng tuôn ra (xem hướng mũi tên). Ngược lại, nếu F=(y,x) (hình góc dưới bên trái) ta tính được \operatorname{div}(F)=0 hay không có inflow hay outflow nào tại mọi điểm, cái hình cũng chỉ cho ta thấy các dòng chảy không trào ra hay bị hút vào tại đâu cả.

Laplacian

Phép toán vector cuối cùng ta cần xét đến chính là laplacian (ký hiệu \Delta). Phép toán này được định nghĩa là sự kết hợp giữa hai phép toán divergence và gradient. Do đó, laplacian sẽ biến một đại lượng vô hướng thành một đại lượng vô hướng khác. Với một đại lượng vô hướng f, ta định nghĩa

\Delta f = \nabla^2f =\operatorname{div}(\nabla f) = \nabla\cdot \nabla f

Ta sẽ bàn kỹ hơn ý nghĩa vật lý của phép toán này trong một bài khác gần đây. Ở bài này, bạn cũng có thể hiểu nôm na phép toán này mô tả kết hợp ý nghĩa vật lý của hai đứa gradient (hướng của dòng chảy) và divergence (nguồn thu hay phát) tại một điểm.

Vậy là xong bước chuẩn bị cần thiết, ở kỳ tiếp theo, chúng ta sẽ chính thức đi vào giải thích ý nghĩa thực tế của phương trình Navier Stokes.

 Xem tiếp : Kỳ 2.

Từ khoá tiếng Anh để tìm kiếm bài này : The relation between Navier–Stokes equation and reality. What are the meaning of terms in Navier–Stokes equation? Intuition for Navier–Stokes equation. Fluid dynamics and the Navier-Stokes Equation.
Xem bài khác trong cùng series[Kỳ 2] Hiểu ý nghĩa thực tế của phương trình Navier–Stokes >>
Math2IT

Math2IT

Đây là tác giả chung cho các bài viết không do trực tiếp tác giả cụ thể nào của Math2IT viết. Có thể đó là các bài dịch từ các bài viết nước ngoài hoặc các bài viết thiên về kỹ thuật và thông báo.