Lý thuyết nút – Câu chuyện ly kỳ về tính thụ động của Toán học

Các nhà toán học thống nhất rằng sự thành công của Toán học trong các lý thuyết vật lý có thể chia thành hai kiểu: thành công chủ động và thành công thụ động. Chủ động là khi toán học cố gắng xây dựng nên một lý thuyết toán phù hợp với hiện tượng quan sát được. Thụ động là khi toàn bộ lý thuyết toán trừu tượng được xây dựng mà không dự tính cho một ứng dụng nào, nhưng sau đó lại trở thành các mô hình vật lý có sức tiên đoán mạnh mẽ. Lý thuyết nút là một ví dụ ngoạn mục cho trường hợp thành công thụ động của toán học.

Lý thuyết “hụt”

Lý thuyết toán học về nút ra đời vào năm 1771 trong một bài báo của nhà toán học Pháp Vandermonde. Ông là người đầu tiên nhận ra rằng các nút có thể được nghiên cứu như là môn hình học của vị trí, tức là không quan tâm đến kích thước và việc tính toán các đại lượng. Tiếp đó, Gauss là người thứ hai đã có một số khảo sát và phân tích về tính chất của các nút. Hai nhà toán học đang làm việc với vai trò thụ động, vì chưa ai dự tính ứng dụng vào đâu cả. Nhưng câu chuyện trở nên khác đi khi nhà vật lý người Anh Thomson phỏng đoán rằng các nguyên tử là các ống ê-tê bị thắt nút. Ông lý luận rằng sự đa dạng của các cách thắt nút sẽ tạo ra sự đa dạng của nguyên tử (quan niệm này ngày nay nghe rất không hợp lý, nhưng đó là những năm 1860, do đó chúng hoàn toàn khả dĩ). Thomson bắt tay vào phân loại các nút, tương tự như bảng tuần hoàn hóa học.

Với sự nổi tiếng của mình, Thomson đã làm bùng lên sự quan tâm nghiêm túc về toán học của các nút. Đến đây việc nghiên cứu Lý thuyết nút đã trở lại với vai chủ động. Nhà toán học Peter Tait (1831-1901) là người có thành công sớm nhất trong việc phân loại các nút. Ông đã lập danh mục những đường cong có 1 chỗ bắt chéo, có 2 chỗ bắt chéo, có 3 chỗ bắt chéo,… Đây là nhiệm vụ không tầm thường, vì rất khó để phân biệt hai nút khác nhau, trong khi một đường cong có 10 chỗ bắt chéo nhau có đến 1024 nút phải xem xét! 

Năm 1885 Tait công bố bảng các nút có 10 lần bắt chéo nhau. Một cách độc lập, một giáo sư ĐH tên là Little (1858-1923) cũng công bố vào năm 1899 bảng các nút không luân phiên với 10 hoặc ít hơn 10 lần bắt chéo nhau. Nhưng thật không may, trong lúc Tait và Little hoàn thành công việc khổng lồ của mình thì lý thuyết nguyên tử của Thomson đã bị bác bỏ! Không còn mô hình nào để tiếp tục việc phân loại các nút. Liệu các nhà toán học có từ bỏ?

Sự miệt mài đáng ngạc nhiên

Trong khi không còn mô hình vật lý nào để áp dụng, các nhà toán học vẫn âm thầm quan tâm đến lý thuyết về các nút. Điều gì là đặc trưng của các nút? Hay nói cách khác có tiêu chuẩn nào để phân biệt các nút khác nhau? Nếu bạn chưa ấn tượng với sự nổ lực miệt mài có phần “điên rồ” của các nhà toán học và sự khó khăn của việc phân loại các nút thì hãy xem các sự kiện sau đây.

17 phương trình làm thay đổi thế giới
5 vấn đề toán học vô cùng đơn giản nhưng vẫn chưa thể giải được

Năm 1899, sau 6 năm làm việc, GS. Little công bố bảng 43 nút không luân phiên có 10 lần bắt chéo nhau. Bảng này phải sau 75 năm mới được công nhận chính xác. Tuy nhiên sau đó, nhà toán học Perko đã tự thực nghiệm bằng những sợi dây, ông đã kinh ngạc phát hiện ra có 2 nút giống nhau. Sự việc này khiến các nhà toán học phải kiểm tra thêm một lần nữa và kết luận có đúng 42 nút không luân phiên có 10 lần bắt chéo nhau là thật sự khác nhau. Năm 1998,  Jim Hoste và Jeffrey Weeks đã lập bảng tất cả các nút có 16 lần bắt chéo nhau hoặc ít hơn. Một bảng cũng được lập một cách độc lập bởi Morwen, ĐH Tennessee. Ngạc nhiên là mỗi bảng đều chứa chính xác 1.701.936 nút khác nhau!

Đi tìm dấu vân tay

Trở lại với mối quan tâm lúc này của các nhà toán học. Có hay không một bất biến toán học, tức là “dấu vân tay”, cho các nút? Năm 1928, nhà toán học Waddell Alexander (1888-1971) khám phá ra một bất biến quan trọng, sau này nổi tiếng với tên đa thức Alexander. Nếu hai nút có đa thức Alexander khác nhau thì chúng khác nhau. Tuy nhiên, điều không hay là hai nút có cùng đa thức vẫn có thể khác nhau. Đa thức Alexander vẫn chưa phải là hoàn hảo trong việc phân loại các nút. 

Thêm 4 thập kỉ tiếp theo các nhà toán học mới đạt được khám phá tiến bộ trong về lý thuyết nút. Nhưng ta nhắc lại là tại sao họ lại dành sự quan tâm đào sâu chủ đề này như vậy? Chắc chắn không vì ứng dụng thực tế nào cả, mô hình nguyên tử của Thomson đã lãng quên từ lâu, trong khi không có lĩnh vực khoa học nào đòi hỏi phải hiểu biết về lý thuyết nút cả. Họ chỉ tò mò mà thôi! Năm 1960, nhà toán học người Mỹ là John Conway đã khám phá ra cách “phẩu thuật” các nút, làm cơ sở để xác định một bất biến của nút. Hai phép phẩu thuật này là: phép lật và phép làm trơn. Công trình của Conway cung cấp thêm hiểu biết về lý thuyết nút nhưng vẫn chưa đủ để đưa ra một bất biến, điều mà các nhà toán học quan tâm.

Tình hình thay đổi vào năm 1984, nhà toán học người New Zealand là Vaughan Jones nhận thấy mối liên hệ giữa đại số von Newmann. Ông đến gặp nhà lý thuyết nút Joan Birman của Đh Columbia. Nghiên cứu của 2 ông đã phát lộ một bất biến mới, đa thức Jones. Đa thức Jones trở thành một bất biến nhạy cảm hơn cả đa thức Alexander. Tuy nhiên điều quan trọng hơn cả là khám phá của Jones đã tạo nên hứng phấn chưa từng thấy cho lý thuyết nút. Các nhà toán học trên khắp thế giới đắm chìm trong trong nổ lực tìm kiếm một bất biến thậm chí còn tổng quát hơn và bao hàm cả đa thức Alexander và đa thức Jones. Cuộc chạy đua cuối cùng đã kết thúc ở điểm mà có lẽ là đáng kinh ngạc nhất trong lịch sử cạnh tranh khoa học. Chỉ vài tháng sau khi Jones công bố đa thức của mình, bốn nhóm làm việc độc lập đã đồng thời khám phá ra một đa thức thậm chí còn nhạy cảm hơn nữa, đó là đa thức HOMFLY. Bất biến hiện đại nhất đến nay là công trình của nhà toán học người Nga Maxim Kontsevich, người đã nhận giải Fields danh giá năm 1998 và giải Crafoord năm 2008.

Sự trở lại ngoạn mục và đầy bất ngờ

Hãy nhớ rằng lý thuyết nút được thúc đẩy bởi một mô hình nguyên tử sai. Tuy nhiên giờ đây các nhà toán học hoàn toàn bất ngờ và vui sướng khi lý thuyết nút lại là chìa khóa để tìm hiểu những quá trình cơ bản liên quan đến ADN, phân tử của sự sống. Song sinh học phân tử không phải là lĩnh vực duy nhất mà lý thuyết nút có những ứng dụng không lường trước. Lý thuyết dây – nổ lực hiện nay nhằm xây dựng một lý thuyết thống nhất giải thích tất cả các lực trong tự nhiên – cũng có liên quan chặt chẽ với lý thuyết nút.

 Sự thú vị của các con số trong Toán học

Ứng dụng trong nghiên cứu ADN

ADN gồm hai mạch dây rất dài xoắn xung quanh nhau hàng triệu lần tạo thành một chuỗi xoắn kép. Hơn thế nữa, chuỗi xoắn kép này lại thắt nút và xoắn chặt (để nén thông tin) đến mức nếu không có cơ chế tháo xoắn hiệu quả thì quá trình phân chia tế bào không thể diễn ra được. Sau khi phân chia, ADN con phải được gỡ nút, còn ADN mẹ lại phải trở lại cấu hình ban đầu của nó. Tác nhân chịu trách nhiệm gỡ rối và gỡ nút là các enzyme. Các enzyme có thể luồn một mạch qua mạch kia bằng việc cắt đứt tạm thời và đấu nối lại ngay sau đó. Quá trình phẩu thuật các nút của các enzyme hoàn toàn giống với những gì Conway mô tả những năm 1960. Theo quan điểm tôpô, ADN chính là các nút phức hợp. Bằng việc sử dụng lý thuyết nút để tính toán độ khó trong việc gỡ rối ADN, các nhà sinh học có thể tìm hiểu tính chất của ADN. Nói cách khác, các nhà nghiên cứu đang tìm hiểu cơ chế vận hành của enzyme thông qua những thay đổi quan sát được trong tôpô của ADN. Ngoài ra, sự thay đổi số lần bắt chéo nhau trong nút ADN giúp các nhà sinh học đo được tốc độ phản ứng của enzyme.

Ứng dụng trong lý thuyết dây

Trong nhiều thập kỷ, các nhà vật lý đã nỗ lực tìm kiếm một lý thuyết của vạn vật – một thuyết hấp dẫn lượng tử, được xây dựng với mục đích thống nhất tất cả các hạt cơ bản cùng các lực cơ bản của tự nhiên, ngay cả lực hấp dẫn. Năm 1984, trong một bài báo có tính chất hội tụ nỗ lực của 12 năm nghiên cứu căng thẳng, mà phần lớn không có ai ngó ngàng, Michael Green và John Schwarz đã xác định đồng thời giải quyết những xung đột ảnh hưởng xấu đến lý thuyết dây. Hơn vậy, họ còn chứng minh được rằng lý thuyết dây mà họ xây dựng có đủ tầm vóc để bao quát tất cả các lực cơ bản của tự nhiên và vật chất. Khi tin đồn về kết quả thành công này đến tai cộng đồng vật lý trên thế giới, hàng trăm nhà vật lý hạt đã bỏ công việc nghiên cứu đang làm của họ để lao vào một cuộc tấn công với quy mô lớn hơn, và họ nghĩ rằng đây sẽ là trận chiến cuối cùng trong cuộc chinh phục những bí mật của vũ trụ. Lý thuyết dây đang là lý thuyết tốt nhất hiện nay cho những gì các nhà khoa học đang mong đợi. Theo lý thuyết này, vũ trụ được choán đầy bởi những vòng dây đàn hồi, gọi là dây cơ bản. Sự dao động khác nhau của các vòng dây kín này sẽ tương ứng với các hạt vật chất khác nhau. Khi nghiên cứu các loại cấu trúc tôpô phức tạp này, hai nhà lý thuyết dây là Hirosi Ooguri và Cumrun Vafa đã khám phá ra mối liên kết giữa dao động tương tác phức tạp của các dây cơ bản và đa thức Jones. Trong khi đó Edward Witten đã tạo nên mối quan hệ không ngờ tới giữa đa thức Jones và thuyết trường lượng tử – nền tảng cơ bản của lý thuyết dây. 

Kết

Lý thuyết nút, khởi đầu từ một mối quan tâm của một nhà toán học, trở thành một lý thuyết “hụt”, sau quá trình tự trưởng thành đã quay lại tiên đoán mạnh mẽ cho các hiện tượng sinh học và vật lý.  Câu chuyện về Lý thuyết nút đã minh họa đẹp đẽ cho sức mạnh không ngờ tới của toán học. 

 Chuyện Toán học: Có phải ngẫu nhiên?
 Toán học tươi đẹp : Quy ước trong toán học?

Tham khảo

[1] Mario Livio, Is god a mathematician? Simon&Schuster. Bản dịch tiếng Việt của P.V.Thiều, P.T.Hằng, NXB Trẻ, 2011
[2] Wikipedia, Knot theory, https://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory
[3] Wikipedia, Lý thuyết dây, https://vi.wikipedia.org/wiki/Lý_thuyết_dây

Phạm Nhật Thiện

Phạm Nhật Thiện

Nhật Thiện là bạn trẻ yêu thích Toán học, mong muốn tổng hợp và chia sẻ kiến thức đến tất cả mọi người.