Math2IT

Một chàng trai bắt đầu chạy xe trên đường, sau khi chạy liên tục 60 phút, anh phát hiện mình đã chạy được 20 Km. Có hay không một đoạn nào đấy dài 10Km trong 20Km kia mà anh ấy đã chạy liên tục trong vòng 30 phút?

Xem đáp án tham khảo

Gọi quãng đường đi được sau khoảng thời gian $t$ là $f(t)$ , theo đề bài ta biết rằng hàm $f$ liên tục theo thời gian $t$ . Khi ấy xét hàm số liên tục $g(t)=f(t+30)-f(t)$ (đây là quãng đường đi được từ thời điểm $t$ tới thời điểm $t+30$ ).

Ta thấy

$g(30) + g(0) = f(60)-f(30) + f(30)-f(0)=f(60)-f(0)=20$

(vì theo giả thiết từ lúc bắt đầu, tức $t=0$ tới sau 60 phút, tức $t=60$ thì người đó đi được 20 Km nên $f(60)-f(0)=20$ ).

Khi ấy hai số $g(30)$ và $g(0)$ có tổng bằng $20$ nên một trong hai phải nhỏ hơn hoặc bằng $10$ . Điều này là tất nhiên vì nếu ngược lại, cả hai số đều lớn hơn $10$ thì tổng của chúng sẽ lớn hơn $20$ .

Xét trường hợp cả hai cùng bằng $10$ , tức $g(0)=10$ hay $f(30)-f(0)=10$ . Diễn dịch ra, sau $30$ phút kể từ lúc bắt đầu thì anh ta đã đi được một đoạn $f(30)=10$ Km, thỏa yêu cầu bài toán. Chứng minh xong.

Trường hợp còn lại, một trong hai thằng phải nhỏ hẳn hơn $10$ và thằng còn lại tất nhiên phải lớn hẳn hơn $10$ . Mặt khác do $g(t)$ liên tục nên theo định lý giá trị trung gian, phải có một giá trị của $t$ (gọi là $t_0$ ) để $g(t_0)=10$ . Và bài toán đã được chứng minh xong vì ở thời điểm $t_0$ , sau đó $30$ phút, anh ta đã lái xe đi được đúng $10$ Km.