Toán học

Đố vui: Anh chàng chạy xe

Một chàng trai bắt đầu chạy xe trên đường, sau khi chạy liên tục 60 phút, anh phát hiện mình đã chạy được 20 Km. Có hay không một đoạn nào đấy dài 10Km trong 20Km kia mà anh ấy đã chạy liên tục trong vòng 30 phút?

Xem đáp án tham khảo

Gọi quãng đường đi được sau khoảng thời gian tf(t), theo đề bài ta biết rằng hàm f liên tục theo thời gian t. Khi ấy xét hàm số liên tục g(t)=f(t+30)-f(t) (đây là quãng đường đi được từ thời điểm t tới thời điểm t+30).

Ta thấy

g(30) + g(0) = f(60)-f(30) + f(30)-f(0)=f(60)-f(0)=20

(vì theo giả thiết từ lúc bắt đầu, tức t=0 tới sau 60 phút, tức t=60 thì người đó đi được 20 Km nên f(60)-f(0)=20).

Khi ấy hai số g(30)g(0) có tổng bằng 20 nên một trong hai phải nhỏ hơn hoặc bằng 10. Điều này là tất nhiên vì nếu ngược lại, cả hai số đều lớn hơn 10 thì tổng của chúng sẽ lớn hơn 20.

Xét trường hợp cả hai cùng bằng 10, tức g(0)=10 hay f(30)-f(0)=10. Diễn dịch ra, sau 30 phút kể từ lúc bắt đầu thì anh ta đã đi được một đoạn f(30)=10 Km, thỏa yêu cầu bài toán. Chứng minh xong.

Trường hợp còn lại, một trong hai thằng phải nhỏ hẳn hơn 10 và thằng còn lại tất nhiên phải lớn hẳn hơn 10. Mặt khác do g(t) liên tục nên theo định lý giá trị trung gian, phải có một giá trị của t (gọi là t_0) để g(t_0)=10. Và bài toán đã được chứng minh xong vì ở thời điểm t_0, sau đó 30 phút, anh ta đã lái xe đi được đúng 10 Km.

 

Math2IT

Math2IT

Đây là tác giả chung cho các bài viết không do trực tiếp tác giả cụ thể nào của Math2IT viết. Có thể đó là các bài dịch từ các bài viết nước ngoài hoặc các bài viết thiên về kỹ thuật và thông báo.