Toán học

Toán học tươi đẹp : Quy ước trong toán học?

Một bài viết rất hay về việc hiểu đúng quy ước trong toán học. Quy ước là gì? Có thể chứng minh được không? Mà chứng minh được sao lại gọi là quy ước? Cùng tìm hiểu với tác giả blog Toán học tươi đẹp nhé. Xin nói trước với bạn đọc đây là những ý kiến cá nhân và luận bàn về toán học của tác giả bài viết, nó không mang tính chất là chân lý hay một chứng minh toán học thuần túy. Lập luận tuy dựa trên những logic toán học nhưng chỉ mang tính tham khảo dành cho mọi người.

Trên một diễn đàn nọ, một thầy giáo dạy Vật lý bảo với mọi người rằng thầy ấy có thể chứng minh được 10^{0}=1. Cách chứng minh như sau:

10^{0}=10^{1-1}=\dfrac{10^{1}}{10^{1}}=\dfrac{10}{10}=1

Như vậy có nghĩa là việc 10^{0}=1 là hoàn toàn chứng minh được mà không cần phải quy ước như trong sách giáo khoa lớp 7. Rất nhiều người ủng hộ, họ bảo rằng chứng minh đơn giản mà dễ hiểu quá. “Mà đã là chứng minh được thì còn phải quy ước làm gì?”. Một vài người phản đối: “Đã là quy ước thì chứng minh làm gì?” 🙂 Vậy là sao, có phải quy ước hay không? Mà thật ra mấy cái quy ước trong toán học có ý nghĩa gì, có thể quy ước khác đi được hay không?…

Đầu tiên các bạn phải hiểu là mọi chứng minh đều phải xuất phát từ định nghĩa và các tiên đề được thừa nhận. Ở đây ta xem xét cái định nghĩa trong sgk đã nhé:

a^{n}=a.a...a    (có n thừa số a).

Định nghĩa như vậy là hợp lý vì tích của n thừa số a sẽ là một số nào đó. Định nghĩa này không thể áp dụng cho trường hợp a^{0} được vì tích của 0 thừa số a nào cả thì có nghĩa là gì? Cái trường hợp này rõ ràng là không có ý nghĩa gì trong thực tế. Tuy nhiên do nhu cầu phát triển nội tại của toán học người ta vẫn cần xét đến a^{0}. Và đây là lúc cần phải quy ước a^{0}=1.

Vấn đề là: cũng giống như bao quy ước khác trong cuộc sống, chẳng hạn thay vì nói “một triệu đồng” ta có thể quy ước gọi là “một chai”, hay thay vì gọi thế này ta có thể quy ước gọi thế khác. Điều quan trọng là ở chỗ có quy ước đó có nhận được sự đồng thuận chung của mọi người hay không mà thôi. Đó là đặc điểm quy ước trong ngôn ngữ. Vậy ở trên ta có thể quy ước a^{0}=2 được không?

Câu trả lời là Không! Mọi quy ước trong toán học đều phải “phù hợp”. Chắc các bạn đều biết tính chất này của lũy thừa: \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. Nếu m lớn hơn n, việc rút gọn những thừa số a giống nhau ở tử và mẫu ta sẽ còn lại tích của m-n thừa số a, vậy nên sẽ bằng với a^{m-n}.

Việc quy ước a^{0}=1 sẽ làm cho tính chất ở trên vẫn còn đúng trong trường hợp m=n. Tôi muốn nhấn mạnh lại rằng: mọi quy ước đều phải phù hợp và hòa vào cái chung. Thế nên việc chứng minh quy ước đó bằng cách áp dụng tính chất trên giống như việc thừa nhận nó đúng để chứng minh nó đúng vậy! Có lẽ Thầy ấy chỉ nên dùng những phân tích của mình để chỉ ra cho học sinh thấy sự hợp lý của việc quy ước a^{0}=1 mà thôi.

Nếu các bạn còn hứng thú tôi xin kể tiếp một câu chuyện nữa. Có một học sinh kể rằng khi học về tập hợp con, cô giáo sẽ dành một điểm 10 cho ai chứng minh được rằng: “Tập rỗng là con của mọi tập hợp”. Điều thú vị là trong các tài liệu về tập hợp người ta đều bảo rằng đây chỉ là “quy ước”! Rút kinh nghiệm đợt 1, chắc các bạn sẽ nghĩ rằng: “Ôi dào! Đã là quy ước rồi còn chứng minh cái gì nữa?”. Nhưng không hiểu sao lần này tôi lại muốn ủng hộ cô giáo ấy: tôi nghĩ khẳng định trên là có thể chứng minh được.

Ta nhắc lại một chút về khái niệm tập hợp con: A\subset B khi và chỉ khi \forall x:x\in A\Rightarrow x\in B

Vậy nên để chứng minh tập rỗng là con của mọi tập A nào đó ta cần chứng minh:

\forall x:x\in \varnothing \Rightarrow x\in A         (1)

Mọi chuyện thú vị nằm ở đây: “tính đúng sai của mệnh đề kéo theo”. Mệnh đề P\Rightarrow Q chỉ sai khi P đúng mà Q lại sai thôi. Điều này cũng có nghĩa là khi P sai, bạn muốn suy ra cái gì cũng được! Rất giống với mấy tình huống chém gió của các bạn trai: “Em à! Nếu anh có nhiều tiền thì anh sẽ xây cho em 2 cái hồ bơi, một cái cho em rửa mặt một cái cho em rửa chân!” Sự thực là bạn chẳng xây cho cô ấy cái gì cả. Dù bạn đang nghèo kiết, nhưng chỉ cần nói “nếu anh có nhiều tiền” thì bạn muốn suy ra cái gì mà chẳng được. Thế đấy, cái quy ước của toán học nó nằm ở đây: Toán học quy ước rằng trong trường hợp P là Sai, mệnh đề P\Rightarrow Q luôn luôn đúng.

Trở lại mệnh đề (1) ở trên, ta thấy rằng: Rõ ràng mệnh đề x\in \varnothing là sai với mọi phần tử x (vì rỗng có phần tử nào đâu). Nên mệnh đề kéo theo (1) là luôn đúng rồi. Điều đó có nghĩa là tập rỗng đúng là con của mọi tập hợp mà không cần phải “quy ước”. Cái quy ước thật sự ở đây có lẽ là ở chỗ quy ước về tính đúng sai của mệnh đề kéo theo mà thôi…

Nguồn hình bìa : pixaroma.

Math2IT

Math2IT

Đây là tác giả chung cho các bài viết không do trực tiếp tác giả cụ thể nào của Math2IT viết. Có thể đó là các bài dịch từ các bài viết nước ngoài hoặc các bài viết thiên về kỹ thuật và thông báo.