Tại sao tiếp tuyến của đồ thị hàm số lại liên quan đến đạo hàm bậc nhất?

Đa phần bạn học về tiếp tuyến là chấp nhận về công thức để làm bài tập và không hoặc chưa hiểu được từ đâu nó lại có như vậy. Bài viết hy vọng một phần nào giải thích được mối liên hệ giữa tiếp tuyến đồ thị hàm số với đạo hàm trong công thức tiếp tuyến.

Trước tiên bạn cần hiểu rõ (rõ theo cách của “Hiểu toán học“) đạo hàm bậc nhất là gì? (blog sẽ cập nhật sau)Tiếp đến bạn cần biết định nghĩa thế nào là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm. Blog chưa cập nhật định nghĩa đúng từng câu từng chữ như trong SGK của bạn đang học nhưng có thể hiểu như sau:

Định nghĩa (Tiếp tuyến đồ thị hàm số)
Tiếp tuyến của đồ thị một hàm số tại một điểm là một đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số tại điểm đó.

Và công thức để xác định tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại một điểm M(x_0;y_0) được xác định như sau

y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0

Trong công thức trên, ta thấy rằng đạo hàm bậc nhất của hàm số tại hoành độ của điểm, f'(x_0) chính là hệ số góc của tiếp tuyến. Thế nhưng hệ số góc là gì? Xem bên dưới nhé.

Định nghĩa (Hệ số góc của đường thẳng)
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b với a\ne 0 là hệ số của góc tạo thành khi đường thẳng cắt trục hoành x'Ox tại một hoành độ và hợp với trục tung y'Oy tạo thành một góc. Vì a của đồ thị hàm số liên quan đến góc này nên a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b.

  • Khi a>0 thì góc tạo thành là góc nhọn và nằm bên trái Oy.
  • Khi a<0 thì góc tạo thành là góc và nằm bên phải trục tung Oy.
  • Khi a=0 ta không có hệ số góc vì lúc này đường thẳng sẽ song song với trục hoành.

Nếu có điều kiện, blog sẽ post một bài chi tiết về hệ số góc này, cũng dưới dạng “Hiểu toán học“.

OK, mọi chuẩn bị gần như đã hoàn tất, bây giờ bạn bắt đầu đi vào vấn đề chính: Tại sao trong công thức tiếp tuyến lại xuất hiện đạo hàm bậc nhất? Hay cụ thể hơn tại sao hệ số góc của tiếp tuyến lại làf'(x_0)?Bây giờ ta xét một cát tuyến bất kỳ của hàm số y=f(x) đi qua điểm M(x_0;f(x_0)) và điểm N(x_0+h;f(x_0+h)) như hình vẽ bên dưới (Xin lỗi các bạn vì tạm thời blog sử dụng hình ảnh từ trang wikipedia nên có thể chi tiết không thật chính xác). Khi ấy 2 giao điểm của cát tuyến với đồ thị hàm số sẽ có hoành độ cách nhau một khoảng  h (từ  x_0 đến  x_0+h).

Ta giả sử phương trình cát tuyến của nó có dạng:  

y=ax+b (gọi là đường (d))

Do  (d) đi qua cả  M(x_0;f(x_0)) lẫn N(x_0+h;f(x_0+h)) nên

f(x_0)=ax_0+b    (do đi qua (M))
f(x_0+h)=a(x_0+h)+b    (do đi quaN)

Đừng quá ngạc nhiên tại sao lại có 2 cái trên, vì bạn chỉ việc thế M,N và phương trình đường  (d) là ra ngay. Tiếp tục, lấy vế trừ vế, ta suy ra hệ số góc của đường  (d) khi ấy sẽ được tính thông qua  

a=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \quad (1)

Bạn hãy trả lời cho mình biết là khi nào cát tuyến ấy trở thành tiếp tuyến của đồ thị hàm số? Hay một câu hỏi cụ thể hơn, h bằng bao nhiêu thì cát tuyến thành tiếp tuyến? Hãy suy nghĩ câu trả lời này rồi hãy đọc tiếp.

Thử tưởng tượng cát tuyến của chúng ta bị đóng 1 cây đinh ngay tại điểm M, đầu còn lại của cát tuyến là có thể di chuyển được và bạn dùng tay của mình cầm 1 đầu kéo cát tuyến lên hoặc xuống nhưng vẫn đảm bảo là không ra ngoài đồ thị hàm số. Khi ấy khoảng cách giữa 2 giao điểm có còn là  h nữa không? Tất nhiên là không rồi, khi ấy khoảng cách giữa chúng có thể là  h' hoặc  h'' như hình bên dưới (h''<h'<h).

Bạn có để ý rằng khi khoảng cách h của chúng ta càng nhỏ lại (h tiến về0) thì khả năng cát tuyến trở thành tiếp tuyến càng lớn thêm và nó sẽ là tiếp tuyến khi h=0? Vâng, đây chính là câu trả lời cho câu hỏi nhỏ ở phía trên. Nếu khó tưởng tượng, bạn có thể xem hình bên dưới.

Như vậy bạn đã rút ra được kết luận là khi h \to 0 thì cát tuyến sẽ thành tiếp tuyến và để tính hệ số góc của tiếp tuyến ta chỉ việc dựa vào công thức (1). Hay nói cách khác, từ (1), nếu cho h \to 0 bạn sẽ có được hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số tại điểm M

\lim_{h \to 0 }{\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}}

Nhìn vào công thức trên bạn có thấy quen? Vâng, đó chính là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ x=x_0 hay f'(x_0).

Nguồn hình ảnh nền : freepik.com.

Từ khóa tiếng Anh để tìm kiếm bài này : Why the tangential line (tangent) has a relationship with first order derivative?
Đinh Anh Thi

Đinh Anh Thi

Sáng lập Math2IT. Hiện Thi đang là nghiên cứu sinh tại Pháp về chuyên ngành Toán Ứng Dụng. Anh mong muốn tổng hợp và chia sẻ kiến thức Toán thực tế, Khoa học ứng dụng và Tin học thường thức đến tất cả mọi người dưới dạng dễ tiếp cận và tự nhiên nhất.