Toán học

Thế nào là đếm được trong Toán học? Tập số hữu tỷ có đếm được không?

BBạn có thể đếm được số tự nhiên kiểu như 0, 1, 2, 3,… Vậy đối với số hữu tỷ thì sao? Nó có đếm được không và đếm bằng cách nào? Bài viết này được viết lại vì lần trước lập luận có phần sai sót.

Thế nào là đếm được?

Câu hỏi chính của chúng ta là “Tập số hữu tỷ Q có đếm được không?” Nhưng khoan đã! “Đếm được” có nghĩa là sao? 

Lưu ý, ở đây Math2IT ghi “đếm được” nhưng thật ra chính xác phải là “có tính đếm được“.

Có lẽ trong đầu bạn cũng hiểu nó là gì đó nhưng kêu định nghĩa chính xác câu chữ có lẽ sẽ gây ra cho bạn một chút lúng túng. Chưa hết, cách hiểu “đếm được” của bạn liệu có giống với “đếm được” trong câu hỏi “Tập Q có đếm được không?” hay không? Hay nói cách khác, “đếm được” theo nghĩa thông thường và “đếm được” trong Toán học là một hay là hai khái niệm khác nhau?

Ví dụ 1. Bắt đầu với nghĩa thông thường trước, có một hộp chứa một số viên bi để trên bàn, bây giờ bạn sẽ đếm nó. Đầu tiên bạn lấy ra một viên và đếm “một”, tiếp đến là viên thứ hai và đếm “hai”, cứ thế,…, cho đến viên cuối cùng, giả sử là 20, bạn đếm “hai mươi”. Vậy bạn đã đếm xong hộp bi đó và ta kết luận rằng hộp bi là đếm được và “đếm được” theo nghĩa thông thường cũng chính là những gì bạn đã làm ở trên.

Ví dụ 2. Xét một ví dụ khác, trong vườn nhà bạn có một đàn gà. Tôi hỏi bạn liệu tập hợp nguyên đàn gà đó có “đếm được” không? Có lẽ bạn sẽ trả lời rằng là đếm được và để chứng minh cho câu trả lời đó, bạn bắt đầu đếm. Giả sử toàn bộ số gà đang đứng yên ăn thóc, bạn sẽ đếm từ con gà bên trái cách xa bạn nhất, đếm là 1. Kế đến theo nguyên tắc từ xa tới gần, từ trái qua phải, bạn sẽ đếm lần lượt, 2 con, 3 con,… cho đến con ngoài cùng bên phải gần bạn nhất là xong số gà.

Liệu bạn có bỏ sót còn gà nào không? Rõ ràng theo cách đếm trên, bỏ sót là điều khó có thể xảy ra (trong điều kiện đàn gà đứng yên ăn thóc). Vậy đàn gà là đếm được.

Ví dụ 3. Bây giờ lân la qua Toán một tí để xem “đếm được” trong Toán có khác gì hay không. Tôi yêu cầu bạn hãy đếm số phần tử của tập hợp A=\{1,3,6,7\}. Bạn đếm được không? Cõ lẽ bạn sẽ trả lời là “được” và bắt đầu đếm. 

  • 1 đếm là 1
  • 3 đếm là 2
  • 6 đếm là 3
  • 7 đếm là 4

Vậy tập hợp đó có 4 phần tử và bạn đã đếm được tập hợp đó hay tập hợp đó “đếm được”. Ố la la, có vẻ đếm được trong Toán cũng khá giống trong thực tế bình thường nhỉ.

Ví dụ 4. Bây giờ hỏi khó hơn, bạn có một chiếc xe tải chở đầy thóc. Hỏi đống thóc đó có đếm được không? Rõ ràng là có, chỉ cần đếm từng hạt, từng hạt là được. Ở ví dụ này, rõ ràng bạn không thể biết trước được số thóc kia có bao nhiêu nhưng bạn vẫn đếm được chúng. Hay nói cách khác, chúng đếm được.

Ví dụ 5. Tương tự cho một ví dụ bên Toán, ở Ví dụ 3, số phần tử quá ít nên có lẽ bạn đếm có vẻ dễ. Bây giờ cũng nâng cấp câu hỏi như Ví dụ 4 nhưng khó hơn trong Toán. Liệu tập A = {Số tự nhiên lẻ} có đếm được không? Viết rõ ràng ra là A=\{1,3,5,7,9,11,13,\ldots\}. Câu hỏi sẽ rõ ràng hơn nếu chuyển về “Bạn sẽ đếm A bằng cách nào?” Rõ ràng, chỉ cần chỉ ra được một cách đếm A thì cũng có nghĩa nó đếm được.

Tôi sẽ bày bạn một cách đếm như sau, kêu tất cả các phần tử của A xếp thành một hàng ngang theo đúng thứ tự từ nhỏ đến lớn, nhỏ nhất ở bên trái.

  • Bây giờ, bắt đầu bằng thằng nhỏ nhất của A (chính là số 1), tôi đặt trước mặt nó số “1” để minh hoạ cho “đếm thằng này là 1”.
  • Tới thằng thứ 2 là số 3, tôi cũng đặt trước nó số 2 để minh hoạ cho “đếm là 2”.
  • Số 5 – đặt số 3
  • “7” – “4”
  • “9” – “5”
  • “101” – “51”
  • “2n+1” – “n”

Tôi không biết có bao nhiêu số tự nhiên lẻ (tất nhiên bạn mãi mãi không biết vì đó là một con số vô hạn) nhưng tôi biết rằng tôi đang đếm được các phần tử của A theo cách trên. Cũng giống như Ví dụ 2 khi đếm số gà, tôi đảm bảo rằng tôi sẽ đếm đủ các phần tử theo cách mà tôi đề ra. Nghĩa là, bạn có quyền chỉ ra một số lẻ bất kỳ trong A, tôi vẫn có thể chỉ ra cho bạn biết nó có được đếm hay không. Ví dụ, bạn hỏi, liệu số 2221 có được đếm không hay lại bỏ xót nó? Tôi bảo rằng “có”, số ấy tôi đếm là \dfrac{2221-1}{2}=1110.

Tới đây bạn thấy rằng ý nghĩa thực sự của từ “đếm được” trong toán học và trong thực tế cuộc sống vốn dĩ không khác nhau là mấy. Bạn chỉ cần chỉ ra được cách đếm + đảm bảo không bỏ sót bất kỳ phần tử nào thì tập đó là đếm được.

Nói là nói thế chứ không thể dùng nó làm định nghĩa Toán học được vì có vẻ quá mơ hồ. Chính vì thế, các nhà Toán học đã cố định nghĩa chúng một cách tường minh hơn. Điển hình phải kể đến nhà toán học Georg Cantor. Theo ông, một tập được gọi là đếm được nếu nó cùng lực lượng với một tập con của tập số tự nhiên.

Georg Cantor – nhà Toán học người Đức, gốc Nga được biết đến như là cha đẻ của lý thuyết tập hợp trong Toán học.

Cùng lực lượng có thể hiểu là “cùng số phần tử”. Nhưng bạn sẽ thắc mắc, khi số phần tử là vô hạn thì làm sao biết để so sánh có cùng số phần tử hay không? Ví dụ như ở ví dụ 5, rõ ràng ta không thể biết nó có bao nhiêu phần tử thì làm sao biết “có cùng số phần tử” là cùng thế nào?  Chính vì thế mà tập đếm được trong Toán học sẽ phân ra làm hai loại, một là “tập hữu hạn” và hai là “tập vô hạn đếm được“. Tập hữu hạn như ở Ví dụ 3, còn tập vô hạn đếm được như ở Ví dụ 5.

Ở đây nhắc tới khái niệm “Tập vô hạn đếm được” tức phải có khái niệm “Tập vô hạn không đếm được“. Vâng, ví dụ như tập hợp các số thực \mathbb{R}, bạn không thể biết có tất cả bao nhiêu số thực vì nó là một tập vô hạn, bạn cũng không tài nào chỉ ra được một thuật toán có thể đếm được các phần tử của \mathbb{R} nên nó không đếm được, gọi ngắn gọn, nó là “tập vô hạn không đếm được”.

Nói thêm, cái cách mà bạn “đặt tương ứng” các phần tử xếp hàng và
các số đếm trước mặt như ở Ví dụ 5 thì theo nghĩa Toán học, bạn đã xác định
được một ánh xạ song ánh giữa tập bạn cần đếm với tập các số đếm (tập
con của tập số tự nhiên). Khi ấy muốn chứng minh một tập là đếm được thì ta cần chỉ ra một ánh xạ song ánh đi từ tập đó đến tập con của tập số tự nhiên. Nói tới ánh xạ ghê gớm quá nên tôi bỏ qua và dành cho các bạn chuyên Toán tự tìm hiểu thêm.

Ở trang kế chúng ta sẽ đi vào vấn đề chính, tập số hữu tỷ \mathbb{Q} có đếm được không? Nếu có thì phải chỉ ra cho bằng được đếm bằng cách nào + đảm bảo không bỏ sót bất kỳ phần tử nào.

Đinh Anh Thi

Đinh Anh Thi

Sáng lập Math2IT. Hiện Thi đang là nghiên cứu sinh tại Pháp về chuyên ngành Toán Ứng Dụng. Anh mong muốn tổng hợp và chia sẻ kiến thức Toán thực tế, Khoa học ứng dụng và Tin học thường thức đến tất cả mọi người dưới dạng dễ tiếp cận và tự nhiên nhất.