[Kỳ 3] Tính hợp lý nghiệm hệ phuơng trình và khái niệm ‘condition number’ của một ma trận

Bạn sẽ tìm hiểu thế nào là một hệ phuơng trình điều kiện yếu và điều kiện mạnh, chuẩn của một ma trận, condition number của ma trận là gì và ảnh hưởng của nó tới nghiệm hệ phuơng trình ra sao?

Xem lại : Kỳ 1, Kỳ 2.
Đọc thêm : Chuyên mục Giải tích số của Math2IT.

Bây giờ ta sẽ đi chứng minh rằng với hệ phương trình [A][X]=[C] thì

    \[  \dfrac{\left\|\Delta X \right\|}{\left\| X + \Delta X \right\|} &\le \left\|A\right\|\left\|A^{-1}\right\| \dfrac{\left\|\Delta A \right\|}{\left\| A \right\|}.\]

Xem chứng minh

Thật vậy, với [A][X]=[C] thì khi [A] thành [A'] thì [C] sẽ thành [C'] thỏa

    \[  [A'][X']=[C].\]

Suy ra

    \[[A][X]=[A'][X'].\]

Ký hiệu sự thay đổi ở AX lần lượt là [\Delta A], [\Delta X] thỏa

    \[  [\Delta A]=[A']-[A], [\Delta X]=[X']-[X].\]

Khi đó,

    \[  [A][X] =[A'][X']= ([A]+[\Delta A])([X]+[\Delta X]).\]

Khai triển biểu thức trên ta sẽ có,

    \[  [A][X]=[A][X] + [A][\Delta X]+[\Delta A][X] + [\Delta A][\Delta X]\]

Rút gọn,

    \[  [\Delta X] = -[A]^{-1}[\Delta A]([X]+[\Delta X]).\]

Mặt khác ta có (ứng dụng tính chất của chuẩn)

    \[  \left\|\Delta X\right\| \le \left\| A^{-1}\right\|\left\|X+\Delta X\right\|.\]

Nhân cả hai vế với \left\|A\right\|

    \[  \left\| A\right\|\left\|\Delta X\right\| \le \left\| A\right\|\left\| A^{-1}\right\|\left\| \Delta A\right\|\left\| \Delta X+X\right\|.\]

Hay ta có điều phải chứng minh

    \[  \dfrac{\left\|\Delta X \right\|}{\left\| X + \Delta X \right\|} &\le \left\|A\right\|\left\|A^{-1}\right\| \dfrac{\left\|\Delta A \right\|}{\left\| A \right\|}.\]

Số chữ số đáng tin cậy trong kết quả nghiệm?

Theo như kết quả trên, ta thấy rằng sai lệch trong kết quả nghiệm \le \operatorname{A} \times mối quan hệ tương giao ở vế phải của phương trình.

Hay nói cách khác, sai lệch trong kết quả nghiệm sẽ \le \operatorname{cond}(A)\times \epsilon_{\text{mach}} (\epsilon_{\text{mach}} là machine epsion).

Do đó \operatorname{cond}(A)\times \epsilon_{\text{mach}} sẽ cho chúng ta số chữ số đáng tin cậy trong kết quả nghiệm, giả sử là m. Khi ấy ta cần tìm giá trị lớn nhất có thể có của m sao cho

    \[\operatorname{A}\times \epsilon_{\text{mach}} \le 0.5\times 10^{-m}.\]

Ví dụ 4

Chúng ta có thể tin bao nhiêu chữ số trong kết quả nghiệm của hệ sao đây?

    \[  \begin{bmatrix}1 &2 \\2 & 3.999 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\ 4 \end{bmatrix}\]

Với [A]=\begin{bmatrix}1 &2 \\2 & 3.999 \end{bmatrix}, thì

    \[  [A]^{-1}=\begin{bmatrix}-3999 &2000 \\2000 & -1000 \end{bmatrix}, \left\|A\right\|_{\infty}=5.999, \left\|A^{-1}\right\|_{\infty}=5999.4.\]

Khi đó,

    \[\operatorname{cond}(A)=\left\|A\right\|_{\infty}\left\|A^{-1}\right\|_{\infty}=5.999\times 5999.4=35990.\]

Giả sử machine epsion \epsilon_{\text{mach}}=2^{-23}=0.119209\times 10^{-6}, khi ấy,

    \[  \operatorname{cond}(A)\times \epsilon_{\text{mach}} = 0.4290 \times 10^{-2}\]

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của m thỏa \operatorname{cond}(A)\times \epsilon_{\text{mach}} \le 0.5 \times 10^{-m} và được m\le 2.

Vậy ta có thể tin tưởng rằng ít nhất có 2 chữ số trong kết quả nghiệm là đáng tin cậy tương ứng với hằng số \epsilon_{\text{mach}}=2^{-23}.

Math2IT

Math2IT

Đây là tác giả chung cho các bài viết không do trực tiếp tác giả cụ thể nào của Math2IT viết. Có thể đó là các bài dịch từ các bài viết nước ngoài hoặc các bài viết thiên về kỹ thuật và thông báo.