Bài viết giới thiệu đến các bạn 12 cách chứng minh khác nhau của bất đẳng thức nổi tiếng Bunyakovsky Cauchy Schwarz, một công việc của Hui-Hua Wu và Shanhe Wu.
Trước hết, chúng ta cùng nhìn lại phát biểu tổng quát của bất đẳng thức này.
Bất đẳng thức B.C.S.
Cho hai dãy số thực và , khi ấy ta có
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi hai chuỗi , tỷ lệ với nhau, hay nói cách khác có một hằng số thỏa với . Đôi khi ta thấy dạng quen thuộc hơn là
Với điều kiện mẫu bằng thì tử số tương ứng cũng bằng .
Tiếp theo là 12 cách chứng minh khác nhau bất đẳng thức trên.
Khai triển đẳng thức sau và nhóm các hạng tử giống nhau lại với nhau ta được
Xét tam thức bậc hai
Vì nên ta suy ra biệt thức của phải âm, tức là hay
Khi hay thì (1) hiển nhiên đúng. Do đó ta giả sử
thì khi đó và biểu thức gốc sẽ tương đương với,
Dân đến,
Điều này dẫn đến
luôn đúng nên bất đẳng thức gốc cũng luôn đúng.
do đó,
Đặt , , .
Cũng theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân AM-GM, ta có
Do đó
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Với , (1) hiển nhiên đúng. Còn với thì (1) cũng đúng vì,
Giả sử (1) đúng với , tức là
Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với , thật vậy,
Đặt
Dễ dàng nhận ra rằng có sự sắp xếp y chang nhau trong khi thì có sự sắp xếp ngược nhau tí. Áp dụng bất đẳng thức hoán vị ta được,
Rút gọn ta sẽ được biểu thức gốc.
Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân AM-GM, ta có với
Chọn , ta được
Do đó,
hay tương đương,
Xét các vector và số thực bất kỳ ta có tích vô hướng sau
Do đó nếu ta xem biểu thức trên là tam thức bậc hai theo thì sẽ được
Thay
ta sẽ được điều cần chứng minh.
Xét các vector và
ta suy ra . Thay
ta sẽ được điều cần chứng minh.
Vì hàm số lồi trên nên theo Jensen, ta có
trong đó .
Trường hợp 1. Nếu với , ta áp dụng và vào (2) để được
từ đây dễ dàng suy ra (1).
Trường hợp 2. Nếu tồn tại , ta có
Định nghĩa dãy như sau,
Khi đó,
do đó . Thành ra ta sẽ được
Từ cái này ta dễ dàng suy ra (1).
