Toán học ở xung quanh chúng ta và nó giúp chúng ta định hình sự hiểu biết về thế giới tự nhiên thông qua vô vàng cách thức khác nhau. Nhà toán học Ian Stewart năm 2013 đã cho xuất bản quyển sách của ông với tựa đề “17 phương trình làm thay đổi thế giới” (17 equaitons that changed the world) đã cô đọng được sự ảnh hưởng của các phương trình toán học vào sự hình thành và phát triển của thế giới mà chúng ta đang sống ngày nay. Bài viết này trích dịch từ trang Business Insider miêu tả ngắn gọn về 17 phương trình này.
Phương trình này đã trở thành nền tảng cho hiểu biết của nhân loại về hình học. Nó mô tả mối quan hệ giữa các cạnh của một tam giác vuông trên mặt phẳng. Theo đó, tổng bình phương của độ dài hai cạnh góc vuông chính bằng bình phương độ dài cạnh huyền.
Mối quan hệ này được sử dụng để phân biệt hình học phẳng Euclide bình thường mà bạn học trong trường phổ thông với hình học phi Euclide. Ví dụ, một tam giác vuông khổng lồ được vẽ trên bề mặt Trái Đất sẽ không tuân theo định lý Pythagoras. Lí do bởi bề mặt Trái Đất không phẳng, nó là mặt hình cầu.
Logarit là nghịch đảo của hàm mũ. Một Logarit cho bạn biết số mũ để nâng một cơ số trong hàm mũ để đạt được giá trị xác định. Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1 kí hiệu là vì , vì , vì .
Phương trình trên đây thể hiện một trong những ứng dụng hữu ích nhất của Logarit, nó chuyển phép nhân thành phép cộng. Trước khi máy tính kỹ thuật số phát triển, đây là cách phổ biến nhất cho các nhà khoa học nhân 2 số cực lớn với nhau. Nó giúp tăng tốc tính toán trong vật lý, thiên văn học và kỹ thuật. Nếu không có phương trình này, có lẽ thế giới sẽ phát triển chậm đi hàng thế kỷ.
Công thức trên thể hiện định nghĩa của đạo hàm trong vi tích phân. Đạo hàm thể hiện tốc độ mà một đại lượng đang thay đổi. Ví dụ đơn giản, bạn có thể đã biết vận tốc là đạo hàm của vị trí. Nó thể hiện sự thay đổi vị trí nhanh hay chậm. Nếu bạn đang đi bộ với tốc độ 5 km/h, sau mỗi giờ bạn sẽ thay đổi vị trí của mình trên quãng đường 5 km.
Điều này là đặc biệt quan trọng bởi các nhà khoa học luôn quan tâm đến làm thế nào mọi thứ và đại lượng thay đổi. Đạo hàm cùng với tích phân tạo nền tảng cho giải tích, hỗ trợ đắc lực cho các nhà khoa học hiểu và đo lường sự thay đổi.
Phương trình trên mô tả lực hấp dẫn giữa hai vật, . Trong đó là một hằng số vũ trụ, khối lượng của hai vật lần lượt là và . Khoảng cách giữa hai đối tượng là d.
Định luật của Newton là một nền tảng đáng ghi nhận trong lịch sử khoa học. Nó giúp con người giải thích một cách hoàn hảo sự di chuyển của các hành tinh. Tính chất phổ quát của phương trình này trải dài từ các hiện tượng trên Trái Đất, trong Hệ Mặt Trời tới bất kì đâu trong vũ trụ.
Định luật vạn vật hấp dẫn của Newton đã đứng vững trong suốt 200 năm cho đến khi nó bị thay thế bởi thuyết tương đối rộng của Einstein.
Các nhà toán học liên tục muốn mở rộng tập hợp số của họ. Càng nhiều số, toán học càng có thể mô tả nhiều hơn. Mỗi lần mở rộng một được tập hợp số, sức mạnh của toán học đều tăng lên đáng kể. Trên thực tế, tập hợp số đã bắt đầu đi từ số tự nhiên, thêm vào đó số âm, phân số và số thực. Căn bậc hai của , thường được kí hiệu là , hoàn tất tập hợp số bằng cách tạo ra các số phức.
Về mặt toán học, số phức vô cùng “thanh lịch”. Đại số sẽ hoạt động một cách hoàn hảo nếu có sự góp mặt của số phức. Điều đó có nghĩa là bất kể một phương trình nào cũng sẽ có nghiệm. Trước đó, người ta đã không thể tìm nghiệm cho phương trình dạng . Nó sẽ được kết luận là vô nghiệm nếu giải trên tập số thực. Tuy nhiên, nó lại có nghiệm phức: căn của .
Vi tích phân cũng có thể mở rộng đến các số phức. Bằng cách đó, toán học tìm thấy sự đối xứng tuyệt vời và tính chất của những con số này. Những đặc tính khiến số phức góp phần lớn vào nhiều lĩnh vực khoa học kỹ thuật như điện tử, xử lí tín hiệu, điện từ học, cơ học lượng tử…
Khối đa diện là phiên bản 3 chiều của một đa giác. Một đa diện sẽ có các đỉnh và góc. Các đường kết nối các đỉnh là cạnh và diện tích bên ngoài bao phủ khối đa diện là các mặt của nó.
Bây giờ nếu một khối đa diện có đỉnh, cạnh và mặt. Nếu bạn cộng số đỉnh với số mặt rồi trừ đi số cạnh bạn sẽ nhận được kết quả bằng : .
Công thức Euler nói rằng miễn là đa diện của bạn tồn tại, phép tính trên luôn cho kết quả bằng 2 cho dù nó có 4, 8, 12, 20 hay bất kì bao nhiêu mặt.
Phân phối chuẩn, hay còn gọi là phân phối Gauss, là một phân phối xác suất cực kì quan trọng trong nhiều lĩnh vực. Bạn sẽ nhìn thấy chúng là những đường cong hình chuông quen thuộc và phổ biến trong thống kê.
Đường cong chuẩn được sử dụng trong vật lý, sinh học và các ngành khoa học xã hội để mô hình các thuộc tính đa dạng. Một trong những lí do khiến đường cong này trở nên phổ biến bởi nó mô tả hành vi của các nhóm lớn nhiều quy trình độc lập.
Đây là một phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính bậc hai mô tả các sóng trong vật lý. Các sóng được mô tả có thể từ sự rung của dây đàn guitar, gợn nước trong hồ sau khi ném một hòn đá cho đến ánh sáng phát ra từ một bóng đèn sợi đốt.
Phương trình sóng là một phương trình vi phân sớm. Các kỹ thuật được phát triển cho phương trình này mở rộng sự hiểu biết của chúng ta tới các phương trình khác.
Biến đổi Fourier là công cụ cần thiết để con người hiểu được những cấu trúc sóng phức tạp hơn, ví dụ như lời nói của chúng ta. Nếu bạn có một tập hợp sóng phức tạp và lộn xộn như một bản ghi âm hai người đang nói chuyện, biến đổi Fourier sẽ cho phép sắp xếp lại chúng thành tập hợp những sóng đơn giản. Nhờ đó, việc phân tích sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.
Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xử lí tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, quang học, hình học…
Giống như phương trình sóng, đây là một phương trình vi phân. Nó miêu tả dòng chảy của chất lỏng, chất khí, gọi chung là chất lưu. Ví dụ, phương trình Navier-Stokes có thể được sử dụng cho dòng nước chảy trong ống, lưu lượng khí trên cánh máy bay hay đơn giản là khói tỏa ra từ một điếu thuốc.
Có một điều rất thú vị với phương trình Navier-Stokes, mặc dù được đưa ra từ năm 1822 và đã được khai thác gần 2 thế kỷ, phương trình này vẫn tồn tại những khía cạnh mà chưa một nhà toán học nào có thể giải đáp. Viện toán học Clay đã đưa phương trình Navier-Stokes vào danh sách “Bảy vấn đề quan trọng nhất trong toán học còn bỏ ngỏ”. Họ treo một giải thưởng 1 triệu USD cho ai giải quyết được nó.
Hệ phương trình Maxwell gồm 4 phương trình vi phân mô tả hành vi và mối quan hệ của điện trường và từ trường , gọi chung là trường điện từ.
Giống với định luật Vạn vật hấp dẫn của Newton thuộc cơ học cổ điển, hệ phương trình Maxwell cũng chỉ có thể mô tả trường điện từ ở một quy mô lớn. Nó có thể giải thích cách mà dòng điện hàng ngày của chúng ta hoạt động.
Mọi thứ thuộc về cơ học cổ điển cũng như điện từ cổ điển sẽ thất bại khi mô tả những hiện tượng ở thế giới vi mô, nơi chúng ta cần đến vật lý hiện đại. Ngày nay, cơ học lượng tử với lý thuyết của nó về điện từ trường đã có thể thay thế phương trình Maxwell. Mặc dù vậy, nó vẫn có thể được sử dụng trong những tính toán gần đúng hàng ngày.
Nguyên lý này khẳng định rằng trong một hệ khép kín, entropy (hiểu một cách đơn giản là sự hỗn loạn) chỉ có thể giữ nguyên hoặc tăng lên. Nghe có vẻ đơn giản nhưng nó chính là một hòn đá tảng chặn đường chúng ta đến với tương lai của những thiết bị viễn tưởng.
Định luật 2 nhiệt động học có thể được sử dụng để dự đoán số phận vũ trụ. Nó giải thích cho sự hỗn loạn của vũ trụ từ sau vụ nổ Big Bang và dẫn đến “cái chết nhiệt” của nó, khi vạn vật cân bằng trên một trạng thái nhiệt độ.
Ví dụ gần gũi hơn trong đời sống, định luật 2 nhiệt động lực học là lời giải thích cho câu hỏi tại sao nhiệt chỉ có thể truyền từ vật nóng sang vật lạnh mà không có chiều ngược lại. Khi bạn bỏ đá vào tách cà phê nóng, đá tan và cà phê nguội đi.
Định luật 2 nhiệt động học là lí do câu hỏi tại sao không phải viên đá sẽ đóng băng tách cà phê. Nó cũng là chiếc búa to lớn có thể đập tan mọi ý tưởng dẫn đến một động cơ vĩnh cửu.
Bên cạnh đó, định luật thứ hai nhiệt động học là một trong số ít định luật vật lý không cho phép tồn tại dòng chảy ngược lại của thời gian. Trong khi nhiều nhà khoa học đang cố gắng chứng minh thời gian có một chiều ngược lại bởi không một định luật cơ bản nào của vật lý hiện đại chi phối trạng thái vũ trụ, khiến thời gian nhất thiết cứ phải trôi về phía trước. Họ luôn vấp phải “hòn đá thứ hai” của nhiệt động lực học.
Mặc dù đã có những lý thuyết gần đây được đưa ra nhằm gạt bỏ vai trò của định luật thứ hai nhiệt động học trong xác định chiều thời gian, chúng vẫn chưa thể được hoàn thiện và chứng minh.
Hãy nhìn vào phương trình cực kỳ đơn giản này: . Nó được Einstein đưa ra vào năm 1905 trong một bài báo khoa học với tiêu đề “Quán tính của một vật có phụ thuộc vào năng lượng trong nó không?”.
Như đã nói, một phương trình càng đơn giản bao nhiêu nó càng đẹp bấy nhiêu. Phương trình được mệnh danh là công thức không thể nổi tiếng hơn. Dòng chữ ngắn gọn này mang một sức mạnh khủng khiếp, mở đầu cho những ý tưởng về năng lượng nguyên tử.
Theo đó, Einstein chứng minh năng lượng và khối lượng vốn chỉ là một. Chúng ở hai trạng thái khác nhau và khối lượng chính là dạng “đặc lại” của năng lượng. Chỉ cần nửa cân bất kỳ chất gì cũng đang chứa trong nó năng lượng tương đương vụ nổ của hơn 7 triệu tấn thuốc nổ TNT.
Phương trình giải thích tại sao Uranium lại có thể liên tiếp, trong hàng triệu năm, bắn ra những tia li ti chạy với tốc độ khủng khiếp, tại sao mặt trời và các ngôi sao có thể tuôn ánh sáng và sức nóng trong hàng tỷ tỷ năm. Nó còn cho chúng ta thấy năng lượng ghê gớm chứa trong nhân nguyên tử và tiên đoán chỉ cần một lượng rất nhỏ Uranium cũng đủ tạo ra một trái bom có sức công phá hủy diệt cả một thành phố.
Đây là một phương trình nền tảng của cơ học lưởng tử. Trong khi thuyết tương đối rộng giải thích vũ trụ và các hiện tượng ở quy mô cực lớn, phương trình Schrodinger miêu tả hành vi của các nguyên tử và hạt hạ nguyên tử. Hiểu được thế giới nhỏ bé này quan trọng và vĩ đại chẳng khác nào cách chúng ta hiểu về vũ trụ.
Phương trình Schrodinger mô tả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo thời gian. Nó có thể được sử dụng để thay thế cho định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển. Phương trình Schrodinger là một trụ cột trong cơ học lượng tử còn cơ học lượng tử là nền tảng của năng lượng hạt nhân, công nghiệp bán dẫn, máy tính, laser…
Cũng phải nói rằng cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng là hai lý thuyết khoa học thành công nhất trong lịch sử nhân loại. Tất cả quan sát về mọi hiện tượng của chúng ta ngày nay đều phù hợp với dự đoán của hai lý thuyết này.
Phương trình này được dùng để mô tả entropy thông tin. Nó là một khái niệm mở rộng của entropy trong nhiệt động lực học đã nói phía trên.
Entropy thông tin mô tả mức độ hỗn loạn trong một tín hiệu, nó chỉ ra có bao nhiêu thông tin trong tín hiệu, có thể là của một cuốn sách, một dòng chữ hay một bức ảnh JPEG đăng trên mạng xã hội.
Entropy thông tin cho ta biết được chúng ta có thể nén một nội dung xuống mức độ bao nhiêu mà không mất đi ý nghĩa của nó. Đo entropy thông tin là tiền đề của nghiên cứu toán tin, mở ra cách mà chúng ta có thể kết nối và giao tiếp thông qua mạng internet ngày nay.
Phương trình này được gọi là bản đồ Logistic. Nó được về xuất và phổ biến từ những năm 1976 bởi nhà sinh vật học Robert May, mô tả quá trình thay đổi theo thời gian của một đại lượng.
Nếu bạn để ý vào phương trình này, vế trái của nó thể hiện trạng thái tiếp theo của đại lượng x, nó phụ thuộc vào đại lượng x hiện tại và một hằng số k chọn trước. Đối với một số giá trị của k, phương trình cho thấy hành vi hỗn loạn.
Nghĩa là nếu chúng ta bắt đầu từ 1 giá trị x, quá trình này sẽ phát triển theo một cách. Nhưng nếu chọn một giá trị khởi điểm cho dù rất gần x, nó cũng phát triển theo một cách rất khác.
Đó gọi là sự nhạy cảm của hành vi hỗn loạn với điều kiện ban đầu. Rất nhiều lĩnh vực có thể phải sử dụng mô hình này, ví dụ đơn giản như thời tiết. Một sự thay đổi dù nhỏ trong khí quyển cũng có thể dẫn đến một loạt các hiện tượng thời tiết phức tạp vài ngày sau đó.
Thậm chí một hiệu ứng nổi tiếng mang tên “Hiệu ứng cánh bướm” đã được đề xuất nói rằng một con bướm vỗ cánh ở lục địa này hoàn toàn có thể gây ra một cơn bão phía bên kia lục địa khác. Nó dần đi vào văn hóa đương đại và trong các tác phẩm có đề cập tới quan hệ nhân quả.
Chúng ta lại gặp một phương trình vi phân ở đây. Black-Scholes là phương trình mô tả cách các chuyên gia tài chính và nhà đầu tư định giá cho chứng khoán phái sinh. Hiểu một cách đơn giản nó là một phần quan trọng của hệ thống tài chính hiện đại, với nhiều vai trò khác nhau như phân tán rủi ro, bảo vệ lợi nhuận hoặc tạo lợi nhuận.
Phương trình Black-Scholes cho phép những chuyên gia tài chính tính toán giá trị của các sản phẩm tài chính, dựa trên đặc tính phát sinh và các tài sản cơ sở.
