Một bài toán phức tạp không thể giải được là chuyện rất bình thường, tuy nhiên trong thế giới toán học bao la vẫn tồn tại rất nhiều bài toán vô cùng đơn giản, hầu như ai cũng có thể hiểu được nhưng vẫn chưa một nhà toán học lỗi lạc nào có thể tìm được câu trả lời. Bài viết xin giới thiệu đến bạn 5 trong số các vấn đề ấy.
Lấy một số nguyên dương bất kỳ, nếu số ấy chẵn thì chia cho 2, nếu số ấy lẻ thì nhân với 3 rồi cộng thêm 1. Ra kết quả mới lại áp dụng nguyên tắc ấy. Thực hiện mãi, thực hiện mãi quy trình trên, cuối cùng bạn sẽ nhận được kết quả là 1. Đây là phỏng đoán của nhà toán học người Đức Lothar Collatz.
Các nhà toán học đã thử với hàng triệu số khác nhau nhưng tất cả đều kết thúc với con số 1. Vấn đề là ở chỗ vẫn chưa có ai có thể tìm ra được một số không thỏa quy luật trên.
Khi bạn chuyển nhà, bạn phải di chuyển chiếc ghế sofa trong nhà của mình (giả sử bạn có). Khi di chuyển đến một khúc cua, bạn phải khéo léo di chuyển sao cho chiếc sofa đó qua khỏi khúc cua. Vấn đề ở chỗ chiếc ghế sofa ấy phải vừa để có thể đi qua hành lang hẹp.
Đó là vấn đề dưới con mắt của một người bình thường, còn ở đây, một nhà toán học sẽ tự hỏi: Chiếc ghế sofa lớn nhất để có thể di chuyển vừa khi qua khúc cua của hành lang ấy là bao nhiêu? Chiếc sofa không nhất thiết phải là một hình hộp chữ nhật, nó có thể ở bất cứ hình dạng nào.
Dưới đây là mô tả chính xác của vấn đề : Bạn có một hành lang như trong hình trên với độ rộng là 1, một khúc cua với một góc 90 độ. Diện tích lớn nhất của một hình (dạng bất kỳ) là bao nhiêu để có thể di chuyển vừa qua góc cua ấy?
Con số lớn nhất tìm thấy được gọi là “hằng số sofa”, hằng số này vẫn chưa được tìm ra chính xác là bao nhiêu (ứng với độ rộng hành lang là 1) nhưng nó nằm trong khoảng 2.2195 và 2.8284.
Bạn có biết định lý Pythagoras? Định lý phát biểu với là số đo nguyên dương của 3 cạnh của một hình tam giác vuông. Hãy thử mở rộng định lý này cho không gian 3 chiều. Bây giờ bạn có một hình cuboid (một dạng của hình hộp chữ nhật) như hình vẽ dưới với tương ứng là số đo của 3 cạnh vuông góc nhau của cuboid. Gọi là số đo của cạnh chéo cuboid (cạnh nối từ một đỉnh đến đỉnh đối diện (xem hình).
Câu hỏi đặc ra bây giờ là có thể tìm được các số nguyên dương sao cho hay không? Vẫn chưa có nhà toán học nào có thể tìm được một bộ các số để tạo ra một hình cuboid hoàn hảo như thế. Trong khi đó cũng chưa có ai chứng minh được rằng không tồn tại một hình như vậy. Câu trả lời vẫn rộng cửa dành cho bạn tìm tòi và phát hiện đấy!
Hãy vẽ một đường cong kính. Đường cong này không nhất thiết phải là một đường tròn, chỉ cần nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một điểm và nó không có tự cắt mình. Bây giờ bạn luôn có thể tìm trên đường cong ấy 4 điểm sao cho 4 điểm ấy có thể tạo thành một hình vuông. Hay nói cách khác, bạn luôn có thể tìm thấy một hình vuông mà 4 đỉnh của hình vuông ấy luôn nằm trên đường cong kính bất kỳ mà bạn vẽ ra.
Bài toán đã được chứng minh là đúng cho một số hình như hình tam giác hay hình chữ nhật nhưng với hình vuông thì vẫn còn là một bí ẩn.
Sỡ dĩ vấn đề có cái tên vui như thế (tên gốc là “happy ending problem”) là bởi nó được hai nhà toán học George Szekeres và Esther Klein cùng nhau làm việc trên đó và họ sau này đã lấy nhau.
Vấn đề này được phát biểu như sau. Hãy lấy 5 điểm bất kỳ trên mặt phẳng sao cho không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng (cùng nằm trên một đường thẳng). Khi ấy ta luôn có thể tìm được 4 điểm để tạo thành một hình tứ giác lồi. Hình tứ giác lồi là hình có 4 cạnh, 4 góc của nó đều nhỏ hơn 180 độ.
Tổng quát hóa lên, bạn cần vẽ một hình -cạnh, gọi là số điểm trên mặt phẳng ít nhất (không có 3 điểm nào cùng nằm trên một đường thẳng) để khi ấy bạn luôn có thể tìm được điểm tạo thành hình -cạnh lồi. Với thì George Szekeres và Esther Klein đã tìm được . Với (hình 5 cạnh) thì (cần ít nhất 9 điểm), ,... Câu hỏi đặt ra là có một công thức chung nào để tìm ra hay không?
Theo David Eppstein
