Bài viết này nhằm mục đích chia sẻ góc nhìn về những điều mà ai cũng biết về Toán: các phép toán cộng, trừ, nhân, chia. Tư liệu được lấy từ trải nghiệm của chính tác giả. Chúng ta sẽ thừa nhận rằng chỉ có Toán học là đúng và không phán xét về tính đúng sai của các góc nhìn khác nhau.
Đối tượng của bài viết này, như đã đề cập ở trên, là bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia.
Chúng ta nhận thức về Toán từ rất sớm. Nếu bạn cho em bé một món đồ chơi, em bé rất vui vẻ, ngược lại, bạn lấy đi em bé sẽ khóc. Có thể nói rằng ngay cả khi không biết những con số thì con người cũng đã có trong đầu khái niệm về “thêm” và “bớt”. Đây xem như là mở đầu cho một góc nhìn về các phép toán.
Phép toán ở tiểu học khởi đầu bằng việc bạn đang có một “thứ gì đó”, và các phép toán chính là bạn “làm gì” (acts - tác động) với thứ đó.
Bạn đang có “thứ gì đó”. Bạn được thêm vào cũng là “thứ đó” nhưng với một số lượng khác. Đó được gọi là phép cộng. Chẳng hạn, Nam có 5 quả cam, bố của Nam đưa thêm cho Nam 3 quả cam nữa, vậy lúc này Nam có 8 quả cam. Thuật toán ở đây là
- Đang có 5 quả cam (báo cáo kết quả bằng việc “đếm” để biết con số 5),
- Được thêm 3 quả cam (đưa 3 quả cam này sáp nhập vào nhóm ở trên),
- Đếm số lượng quả cam hiện có và báo cáo kết quả: 8 quả cam.
Đương nhiên chúng ta có nhiều cách để đếm và biết kết quả rằng có 8 quả cam. Có thể gom hết lại và đếm từ đầu, hoặc cũng có thể ta đã đếm 5 quả cam trước đó rồi, và chỉ việc “đếm thêm” số lượng mới. Ta không đi sâu vào vấn đề đó ở đây, mà sẽ tập trung vào việc biểu diễn kết quả ở trên như thế nào. Ta viết
Từ “quả cam” xuất hiện ở cả 3 vị trí trong phép toán. Xem như ta ngầm hiểu và lược bỏ chúng. Lúc này ta được một kết quả rất “toán học”:
Đây chính là một cách viết biểu diễn Phép cộng. Để có kết quả này ta phải thực hiện thuật toán đếm. Tóm lại, đối với góc nhìn ở tiểu học, phép cộng chính là kết quả của việc đếm. Phép toán ở đây là cách chúng ta tác động với “thứ gì đó” có sẵn, cụ thể việc tác động đó là “thêm vào”.
Tại sao tôi lại đề cập ở phần mô tả đầu tiên rằng “cũng là thứ đó nhưng với một số lượng khác”? Lý giải cho câu hỏi này bởi vì công việc của chúng ta là đếm, vậy nên phải rõ ràng rằng đếm “cái gì”. Tôi đang đề cập đến “đơn vị” (unit). Tức là Phép cộng phải được thực hiện với các đối tượng cùng đơn vị. Nói cách khác, chúng ta không có Phép cộng có dạng:
Có cách lý giải rằng ta có
Tôi khẳng định biểu thức (3) ở trên không phải là biểu diễn của phép cộng (ít nhất là trong nhận thức của tôi). Tôi gọi biểu thức đó là lạm dụng ký hiệu và hiểu sai về Toán học. Lạm dụng ký hiệu , trong khi đối với biểu thức này thì viết đầy đủ phải là
Lúc này đơn vị trong biểu thức (4) đã đồng nhất, cùng là đơn vị “quả”.
Ta có thể dùng các biểu thức (1), (2), (4) để biểu diễn phép cộng, trong đó nếu không có sự nhầm lẫn nào, hoặc đã ngầm hiểu tất cả cùng đơn vị (cùng là số nguyên, số thực chẳng hạn) thì ta dùng biểu thức (2) cho gọn.
Một cách tương tự, Phép trừ có thể được hiểu như cách của Phép cộng, trong đó tác động “thêm vào” sẽ được thay thế bằng “bớt đi”. Ta không có quá nhiều điều để nói về sự tương tự này ngoại trừ điều kiện cho Phép trừ chính là số lượng ta lấy đi không được phép vượt quá số lượng ta đang có. Bởi vì công việc là đếm, nên điều kiện phải tồn tại ta mới có thể đếm được. Nói cách khác chính là số trừ không được vượt quá số bị trừ.
Chốt lại, Phép cộng và Phép trừ là kết quả của Phép đếm sau khi có một tác động vào một số lượng thứ gì đó cho trước.
Từ nay khi gặp những bài toán kiểu như sau đây thì hãy tránh càng xa càng tốt, đây rõ ràng không phải là Phép toán cộng, trừ.
Ít nhất cần kèm theo một lời chú thích rằng các hình vẽ là để đại diện/minh hoạ cho các con số nào đó, chứ đó không phải là quả táo, quả chuối!
Phép nhân ở tiểu học được giới thiệu bằng cách cộng cùng một “thứ gì đó” cho trước “nhiều lần”. Chẳng hạn, mỗi ngày Nam được bố cho 2 quả cam, sau 5 ngày Nam được bố cho tổng cộng 10 quả cam. Ta có
Ta viết lại (5) bằng một biểu diễn khác:
Ở đây ta thấy 5 không có đơn vị. Số 5 chỉ để biểu diễn số lần ta cộng cùng một số lượng giống nhau của một thứ gì đó. Nếu không có gì nhầm lẫn, ta viết
Tóm lại, đối với tiểu học, Phép nhân cũng là kết quả của Phép đếm, trong đó tác động mà chúng ta đưa vào có một chút khác hơn so với Phép cộng. Ở Phép cộng ta thêm vào cùng thứ đó nhưng với một số lượng khác chỉ trong một lần duy nhất. Đối với Phép nhân, tác động là thêm vào cùng thứ đó với cùng một số lượng trong nhiều lần.
Tổng kết lại, Phép cộng và Phép nhân giống nhau ở chỗ đều là kết quả của Phép đếm, khác nhau ở cách chúng ta tác động vào “cái gì đó” cho trước.
Phép chia cũng là kết quả của Phép đếm. Chẳng hạn, Nam được bố cho một quyển sách có 14 mẩu truyện; bạn ấy dự định đọc xong trong một tuần, với giả thiết rằng mỗi ngày Nam đọc một số lượng như nhau. Như vậy mỗi ngày Nam đọc 2 mẩu truyện. Nhiều người nói rằng Phép chia là ngược lại với Phép nhân. Tức là Nam cần đọc mẩu truyện mỗi ngày, sau một tuần Nam đọc được (mẩu truyện). Phép chia chia cho được định nghĩa bằng cách tìm một số thích hợp sao cho khi thực hiện phép nhân ta được .
Tôi không thích cách định nghĩa này (mặc dù cũng có vẻ hợp lý) ở hai lý do:
- Một là rất khó hình dung đối với phép chia có dư. Mặc dù có thể định nghĩa khác rằng tìm một số và thích hợp sao cho khi thực hiện phép nhân , sau đó thực hiện tiếp phép cộng với ta được . Nhưng rõ ràng cách mô tả tác động này quá khó hình dung (ít nhất đối với học sinh tiểu học).
- Hai là để thực hiện phép chia ta dùng phép toán ngược, chúng ta phải đi giải một phương trình (implicit), điều này không được tự nhiên lắm cho học sinh tiểu học.
Tôi vẫn thích cách định nghĩa bằng kết quả của Phép đếm qua một tác động (như định nghĩa trên thì không phải). Tác động đó như sau:
- Ban đầu ta có thứ gì đó,
- Xem như có chiếc hộp, ta lần lượt rải thứ đó vào chiếc hộp này. Nếu thì rõ ràng luôn có ít nhất một chiếc hộp rỗng, ta dừng. Nếu xem như ta hoàn thành lượt thứ nhất.
- Sau lượt rải thứ nhất ta còn thừa lại bao nhiêu thì tiếp tục công việc này cho đến hết.
- Đến lúc nào đó nếu còn thừa lại ít hơn thì ta dừng.
- Cuối cùng đếm số lượng mỗi hộp ta được kết quả của phép chia, gọi là thương, và đếm số lượng còn thừa gọi là dư.
Ở đây tôi mô tả tác động khá khó hiểu đối với một học sinh tiểu học (vì đang lạm dụng thuật toán Euclidean). Vì vậy về mặt tư duy, phép chia vẫn là kết quả của việc đếm thông qua một tác động. Về mặt giáo dục, ta sẽ chấp nhận cách định nghĩa đầu tiên và dạy cho học sinh tiểu học “cách thực hiện phép chia”. Tôi xin nhấn mạnh rằng, cái chúng ta dạy cho học sinh không phải là phép chia, mà chỉ là dạy “kết quả của phép chia”. Tức là, học sinh tiểu học không được học phép chia theo cách nó “là gì” mà chỉ học cách “làm sao để tìm nó”. Dù sao đi nữa, điều đó thực sự có tác dụng đối với học sinh tiểu học.
Với ví dụ ở trên ta viết
hoặc đầy đủ hơn
hoặc có thể như sau (chấp nhận được)
Phép toán ở tiểu học là kết quả của việc đếm sau một tác động. Tuỳ vào tác động đó là gì ta sẽ có phép toán khác nhau.
Ở trung học dường như chúng ta đã “quên” về phép toán, mà chỉ tập trung về tập số (tức là thực hiện phép toán ở đâu). Trong giới hạn của tiểu học, tập số chưa được gọi tên. Ngay cả khi thực hiện phép toán với phân số thì học sinh tiểu học cũng đều dùng các quy tắc (thứ tự thực hiện) để đưa về tính toán với các số tự nhiên, và khi đó phép toán vẫn được hình dung như đã nói ở trên.
Học sinh trung học bắt đầu bằng việc được giới thiệu số nguyên âm. Họ không định nghĩa số nguyên âm, mà chỉ nói rằng các số được gọi là số nguyên âm. Nghĩa là giáo viên chỉ đưa ra một ký hiệu lạ hoắc cho học sinh và nói rằng đây được gọi là số nguyên âm. Nói là lạ nhưng thật ra cũng quen, chỉ khác là có dấu phía trước. Học sinh lúc đó chỉ có thể chấp nhận rằng đây là một thứ gì đó mới vừa tương tự mà vừa lạ lẫm so với tập số tự nhiên đã biết. Sau đó họ gọi các số là số đối của , là số đối của , và tập số nguyên gồm các số tự nhiên cùng với số đối của nó, với định nghĩa hai số đối nhau là hai số có tổng bằng 0.
Vấn đề tôi muốn nói nằm ở đây. Phép cộng ở Mục 1 cho thấy ta xuất phát bằng có một lượng thứ gì đó, thêm vào một lượng khác của thứ đó, sau đó đếm lại kết quả. Để rõ ràng hơn, trong phép cộng thì và có trước, sau đó mới có phép . Thế nhưng số nguyên âm lại định nghĩa bằng số đối, số đối định nghĩa bằng phép cộng, phép cộng lại định nghĩa bằng việc số “phải có trước”. Có gì đó không ổn ở đây.
Thật may mắn, các chương trình sách giáo khoa mới đã không làm như thế.
- Đầu tiên họ vẫn giới thiệu số nguyên bằng cách khoe ký hiệu như trên: số tự nhiên (học sinh đã hiểu) và số mới (ký hiệu bằng số tự nhiên kèm theo dấu “” ở phía trước). Nhắc lại rằng, cách giới thiệu này không hề đưa ra định nghĩa số âm, mà chỉ là số âm “trông như thế nào” (điều này dễ hiểu trong phạm vi của học sinh trung học).
- Sau đó họ minh hoạ cho học sinh rằng số âm “nên được hình dung như thế nào” bằng cách biểu diễn trên trục số. Học sinh dễ dàng hiểu cách biểu diễn của số tự nhiên. Đối với số đối của một số tự nhiên thì biểu diễn nó khác phía so với số 0 với cùng khoảng cách. Cách định nghĩa này thực sự trực quan và dễ hiểu, đồng thời minh hoạ cho điều tôi nói ở trên, là một số mà vừa quen vừa lạ đối với số tự nhiên. Quen vì cùng khoảng cách đến 0, lạ vì khác phía.
Đến đây xem như đã giới thiệu tốt về số nguyên.
Rõ ràng với cách hình dung số nguyên như một tương ứng 1-1 với điểm trên trục số thì phép cộng như góc nhìn ở tiểu học sẽ gặp chút rắc rối. Đó là thêm vào quả cam là thêm vào bao nhiêu? Tiểu học học đếm vì nó tồn tại, thấy được, cầm lên đếm được, hoặc ít nhất là tưởng tượng được để đếm được. Đối với số âm thì việc đếm này trở nên khó khăn. Chẳng hạn nói quả cam, điều này nghe hết sức vô lý. Quả cam là thực thể ở đó, vậy mà số lượng là ? Cách nói số lượng này rõ ràng không thực tế.
Vì vậy cần có một cách định nghĩa khác về phép toán thay vì việc đếm số lượng như ở tiểu học. (Tôi tạm thời không đào sâu về cách nói cộng thêm là trừ đi , bởi tôi đang muốn hiểu về phép cộng, một thứ gì đó đúng cho toàn bộ số nguyên, chứ không phải là một phép toán được định nghĩa bằng một phép toán khác. Tôi không nói nó sai, chỉ là sẽ không tiếp tục điều đó ở đây. Như đã nói, cách phép toán hoạt động ở góc nhìn của tiểu học là ban đầu phải có một thứ gì đó, sau đó tác động để có một số lượng khác. Nếu như ban đầu “có” thì rõ ràng lối tư duy này đã không còn thích hợp nữa.)
Học sinh trung học thực hiện các phép toán trên tập số nguyên “một cách hình thức” bằng việc đưa nó về thực hiện trên tập số tự nhiên:
- Nếu hai số cùng dấu: thực hiện phép cộng (trên ) cho giá trị tuyệt đối của chúng, sau đó cho nó mang dấu của hai số đó.
- Nếu hai số khác dấu: thực hiện phép trừ (trên ) cho giá trị tuyệt đối của chúng, sau đó cho nó mang dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.
Tôi nói nó hình thức vì theo góc nhìn cá nhân, ta đã đối xử với số nguyên như số tự nhiên, sau đó gắn thêm ký hiệu vào cho các con số.
Tôi thích cách hình dung về phép toán theo cách thứ hai.
Như đã nói số nguyên có tương ứng 1-1 với các điểm trên trục số. Vậy thực hiện phép cộng, trừ trên số nguyên được hiểu là quy tắc thay đổi vị trí trên trục số. Nếu là điểm khởi đầu là một vị trí (thay vì sở hữu) thì điều này có nghĩa. Phép cộng được thực hiện như sau:
- Điểm khởi đầu: một vị trí trên trục số, dù là số âm hay dương thì điều này hoàn toàn có nghĩa.
- Cộng vào số nguyên nào đó tức là thực hiện phép di chuyển (tịnh tiến) theo cùng hướng của số nguyên đó (hướng ở đây được quy định là về phía bên phải nếu cộng với số dương, về phía trái nếu cộng với số âm) với số bước di chuyển bằng chính giá trị tuyệt đối của số nguyên đó. Chẳng hạn cộng với là di chuyển về phía phải đơn vị, cộng với là di chuyển về phía trái đơn vị. Khi đó ta được một vị trí mới. Vị trí này tương ứng với một số nguyên. Đây cũng chính là kết quả của phép toán cộng.
Đối với góc nhìn này ta không phải đếm, không phải bận tâm thứ gì tồn tại hay không để đếm. Đối với phép trừ ta thực hiện tương tự nhưng ngược hướng.
Ở đây tôi đề cập đến “góc nhìn”, tức là làm sao để hiểu nó một cách có logic nhất. Còn về cách tính, làm “như thế nào” để có kết quả nhanh thì có nhiều phương pháp để làm điều đó.
Phép nhân, chia ở trung học thực hiện như đối với các số tự nhiên (dùng một số quy tắc để đưa cách thực hiện phép toán về thực hiện cho các số tự nhiên).
Nhưng, đây chỉ là “cách thực hiện”. Hiểu phép nhân ở đây như thế nào? hiểu như thế nào? Gấp lên lần, hoặc cộng theo lượt sẽ được hiểu như thế nào? Có thể giải thích rằng gấp lên lần, sau đó giảm xuống lần. Tôi sẽ đồng ý rằng đây là cách giải thích chấp nhận được. Vì cả hai phép toán ta thực hiện ở đây đều là phép toán nhân và chia trên tập số tự nhiên ta đã biết ở Mục 1. Tức là, ta cộng số liên tiếp 3 lần, sau đó thực hiện việc “rải đậu” thành 5 nhóm. Cách hiểu này chấp nhận được.
Vậy còn thì hiểu như thế nào? Gấp lên lần là gấp lên bao nhiêu? Hay nói cách khác, cộng với lần thì hình dung ra sao? Rõ ràng phép nhân nếu hiểu theo cách “cộng nhiều lần” đã không còn đúng nữa. Vì vậy có thể nói, phép nhân trong câu “phép nhân là phép cộng nhiều lần”, đó không phải phép nhân, mà chỉ là một cách thực hiện nào đó cho ra kết quả tương tự phép nhân. Ta dùng nó để một học sinh tiểu học có thể tiếp cận được. Nó hoàn toàn khác với phép nhân mà ta sẽ xem xét ở các mục sau.
Đối với góc nhìn của trung học, ta chỉ thay đổi góc nhìn ở phép cộng, trừ, đó là sự thay đổi vị trí trên trục số. Đối với phép nhân, chia, học sinh chỉ dùng cách tính và các ký hiệu hình thức để thực hiện tính toán. Hình thức ở đây mang nghĩa ký hiệu tượng trưng. Ví dụ là một ký hiệu cho một con số nào đó có giá trị gần bằng và có liên quan trực tiếp đến số 2. Thực hiện phép nhân chia đối với số thực bằng các quy tắc hình thức.
Tạm thời ở trung học, phép nhân chia là phép toán như thế nào thì vẫn còn để đó. Học sinh không quan tâm đến việc hiểu về phép toán, nhưng vẫn có thể thực hiện được phép toán (điều này hữu dụng và cần thiết).
Tạm thời ở trung học, phép nhân chia là phép toán như thế nào thì vẫn còn để đó. Học sinh không quan tâm đến việc hiểu về phép toán, nhưng vẫn có thể thực hiện được phép toán (điều này hữu dụng và cần thiết).
Bây giờ chúng ta sẽ đi xa hơn trung học một chút. Đại số trừu tượng mà tôi muốn nói ở đây là “nhóm” (group). Đối với trung học ta hiểu phép toán là cách tác động một số vào một số cho trước. Trong cái nhìn của nhóm, ta không quan tâm quá nhiều đến kết quả, hay cách tác động, cái ta quan tâm chính là “cấu trúc” của tập hợp, hay nói cách khác, phép toán là một “bộ luật” được đặt ra nhằm duy trì cấu trúc của tập hợp.
Hãy tưởng tượng chúng ta là đấng toàn năng ở trên cao quan sát một quốc gia và có quyền thiết lập luật lệ cho quốc gia đó. Giả sử quốc gia đó là . Mỗi người dân mang trong mình một dòng máu, ký hiệu gia tộc của họ là (số lượng gia tộc có thể hữu hạn hoặc vô hạn ?!). Bây giờ ta ban cho họ một bộ luật hôn nhân mang tên . Để thuận tiện ta ký hiệu là .
Ở thời đại này bộ luật được quy định như sau:
- Ký hiệu để chỉ việc kết hôn giữa người nam thuộc gia tộc thứ nhất và người nữ thuộc gia tộc thứ hai
- Hai người kết hôn thì sinh con ra vẫn phải là người dân của quốc gia đó. Ta sẽ gọi con của họ là . Điều khoản này nghĩa là với mọi thì (tính đóng kín của phép toán).
- Quy định rõ về con của họ trông như thế nào nếu họ có ý định kết hôn.
- Người nam của gia tộc và người nữ của gia tộc nếu kết hôn sinh con sẽ trở thành người của gia tộc . Tức là
- Người của gia tộc kết hôn đồng tộc sẽ sinh con thành người của gia tộc , i.e., .
- Cứ như thế bộ luật này áp dụng cho mọi gia tộc. Bằng một cách thần kỳ nào đó lại rất giống với phép cộng 😂)
(Chẳng hạn khi , ta quy định:
Thời đại này ta sẽ gọi là thời đại magma. Như vậy và còn nhiều quốc gia khác cũng đều trải qua thời kỳ magma. Chú ý rằng đều không trải qua magma.
Đến thế hệ tiếp theo, nghĩa là đời tiếp tục kết hôn. Ta lại ban hành thêm điều khoản cho bộ luật này.
Nghĩa là
Nếu người nam ở gia tộc kết hôn với người nữ ở gia tộc , sinh con ra là nam ở gia tộc , người nam này kết hôn với người nữ ở gia tộc , sinh con ra ở gia tộc nào đó. Cùng lúc đó nếu người nam ở gia tộc kết hôn với (con của nam và nữ ) thì sinh con ra sẽ thuộc gia tộc ở trên. Tôi có lý do cho việc quy định nam nữ (sẽ được giải thích sau). Ta thấy ở trường hợp đầu là nam, trường hợp sau là nữ, điều này tuy rằng rắc rối nhưng hãy chấp nhận nó, vì vai trò của nó trong hai trường hợp này không giống nhau.
Điều khoản mới này mang tên Luật kết hợp (Associativity). Thời đại có thêm điều khoản mới cho bộ luật gọi là thời đại nửa nhóm (semigroup). Thấy ngay quốc gia cũng trải qua thời đại nửa nhóm.
Từ bây giờ ta sẽ lạm dụng ký hiệu, viết thay cho . Ký hiệu này là ký hiệu cho phép toán, đồng thời ký hiệu cho kết quả của phép toán đó. (Chẳng hạn có thể viết hoặc thay cho .)
Theo dòng sông lịch sử xuất hiện một gia tộc đặc biệt. Thông thường khi hai gia tộc kết hôn (ngay cả khi đồng tộc) thì con sinh ra lại thuộc gia tộc khác. Nhưng có một gia tộc mà khi kết hôn với bất kỳ gia tộc nào thì con sinh ra vẫn thuộc gia tộc . Tức là
Gia tộc được gọi là phần tử đơn vị (identity element). Trong đó nếu là nam thì gọi là phần tử đơn vị trái, nếu là nữ thì gọi là phần tử đơn vị phải.
Thời đại được bổ sung điều khoản Phần tử đơn vị (identity element) này gọi là vị nhóm (monoid). Quốc gia cũng trải qua thời kỳ này với là phần tử đơn vị.
Đến đây chắc nhiều người đã đoán ra được tôi viết gì tiếp theo. Đúng vậy, ta tiếp tục ban bố một điều khoản mới. Đó là với một gia tộc, luôn có một gia tộc khác “đối xứng” với nó (môn đăng hộ đối), theo nghĩa nếu hai gia tộc đối xứng kết hôn thì đời sau thuộc về gia tộc đơn vị. Luật phần tử nghịch đảo (Inverse element) này như sau:
Thay vì viết , ta viết thành một ký hiệu khác cho có liên hệ chặt chẽ với , đó là . Tương tự như trên, nếu là nam thì gọi là phần tử nghịch đảo trái, nếu là nữ gọi là phần tử nghịch đảo trái.
Trong trường hợp , ta viết thay vì cho gần gũi, và gọi bằng cái tên phần tử đối của . Trong trường hợp quốc gia này là tập hợp số (số nguyên, hữu tỉ, thực, phức), ta gọi là số đối.
Nếu , ta viết .
Thời kỳ này đất nước đã hoàn thiện hơn thuở sơ khai rất nhiều. Gọi là thời kỳ nhóm (group). Thấy ngay không trải qua thời kỳ này.
Phép toán ở đây đã không còn là phép đếm, hay kết quả của một tác động nào. Mà dưới góc nhìn này, phép toán như một bộ luật nhằm duy trì cấu trúc cho tập hợp nền (underlying set). Mỗi tập nền, khi chưa trang bị phép toán, thì chỉ đơn thuần là tập hợp các phần tử của nó. Ứng với mỗi phép toán được trang bị, tập nền này cùng với phép toán đó mới có một cấu trúc riêng biệt. Chẳng hạn, cùng là nhưng trang bị hai phép toán khác nhau thì cấu trúc cũng khác nhau. Rõ ràng và có cấu trúc hoàn toàn khác nhau.
Ở trên tôi giữ nguyên giới tính vì có một vài quốc gia nếu thay đổi giới tính thì kết quả sẽ khác. Chẳng hạn quốc gia gồm các ma trận, ta biết rằng nói chung . Nghĩa là, thứ tự (vai trò) của các phần tử ảnh hưởng đến kết qủa của phép toán. Bộ luật cho phép bình đẳng giới, trong đó bất kể thực hiện theo thứ tự nào đều cho cùng kết quả, gọi là Luật giao hoán (commutativity).
Các tập hợp số với các phép toán thông thường có luật giao hoán.
Tập hợp các ma trận với phép toán cộng có luật giao hoán.
Tập hợp các ma trận với phép toán nhân không có luật giao hoán.
Tập hợp các ma trận với phép toán cộng có luật giao hoán.
Tập hợp các ma trận với phép toán nhân không có luật giao hoán.
Đại số tuyến tính định nghĩa phép cộng và phép nhân một cách hình học và dễ hình dung hơn nhiều. Giống như đại số trừu tượng, ta đều phải có một quốc gia cùng với một tập hợp số (tập có thể là ) và ban hành một bộ luật. Luật này bao gồm 2 mục lớn. Mục thứ nhất gọi là phép cộng “”, mục thứ hai gọi là phép nhân với vô hướng “”. Lưu ý là phân biệt với phép nhân tích vô hướng. Mỗi người dân bây giờ sẽ được gọi là vector. Bộ luật như sau:
Chúng ta sẽ không đi sâu vào cấu trúc nhóm, ngoại trừ một lưu ý rằng trong có vector đóng vai trò là phần tử đơn vị của nhóm.
- Khởi đầu ta có vector
- Phép cộng tức là dịch chuyển, tịnh tiến theo hướng . Ở đây cũng là một thần dân trong quốc gia này. Theo hướng được hiểu là hướng từ đến .
Để dễ hiểu ta lấy ví dụ trong . Chẳng hạn, , . Lúc này hướng của là hướng từ từ đến , hướng sang trái, và cách một khoảng đơn vị . Khi đó từ ta đi về phía trái bước (tịnh tiến về phía trái 5 đơn vị). Đây giống như góc nhìn ở trung học đã đề cập ở trên.
Như vậy phép cộng ở góc nhìn này hoàn toàn giống với góc nhìn ở trung học.
Phép nhân với vô hướng nghĩa là ta không phải lấy hai phần tử của tập hợp đó đem nhân (như định nghĩa của nhóm, hay dưới các góc nhìn khác), mà ta dùng một phần tử ngoài (vô hướng) tác động lên phần tử của . Mỗi người dân qua sự tác động sẽ biến to hay thu nhỏ phụ thuộc vào số trong (xem như một cái máy để khen thưởng hoặc trừng phạt, chiếc máy này không nằm trong nội tại quốc gia đó, mà từ một quốc gia khác).
Chẳng hạn ta có vector . Phép nhân chính là vị tự vector theo tỷ lệ :
- Hướng: cùng hướng với nếu và ngược hướng với nếu , và trở thành mọi hướng nếu , tức vector . (Cần lưu ý là vector này tuy cũng là phần tử đơn vị trong nhóm nhưng vai trò lúc này đã hoàn toàn khác; lưu ý thứ hai là vector này khác với số của tập ).
- Độ lớn: tỉ lệ thu phóng theo .
Ví dụ là một vector cùng hướng với và có độ dài gấp đôi ; là một vector ngược hướng với và có độ dài gấp lần so với độ dài của
Nhắc lại về thắc mắc tôi có đề cập ở góc nhìn thời trung học . Phép nhân lúc này hoàn toàn có nghĩa.
Dưới góc nhìn của đại số tuyến tính, phép toán trở thành các phép biến đổi tuyến tính, trong đó phép cộng là phép tịnh tiến, phép nhân là phép vị tự.
Dưới nhiều góc nhìn khác nhau, những thứ tưởng chừng đơn giản lại trở nên không tầm thường. Một lần thay đổi góc nhìn là một lần tô thêm màu sắc cho Toán học.
