Giải tích là một nhánh quan trọng trong toán học, giúp chúng ta mô tả chính xác sự thay đổi, từ tốc độ của xe đến quỹ đạo của các hành tinh. Cùng Math2IT tìm hiểu về “những ý tưởng lớn” trong giải tích qua Series Giải tích trong 1 phút này nhé. Series được dịch từ trang BetterExplained, có một vài chỉnh sửa từ Math2IT để ngôn ngữ gần gũi hơn với người Việt, nhưng không thay đổi nội dung bài.
Chúng ta thường đánh giá các hình dạng, công thức và tình huống theo một cách khá đơn giản. Giải tích cho chúng ta hai siêu năng lực để tìm hiểu sâu hơn:
- Nhãn quan X-Ray (Tia X): Năng lực này giúp bạn thấy được những mảnh ghép ẩn giấu bên trong một mẫu hình (pattern). Khi nhìn một cái cây, bạn không chỉ nhìn thấy mỗi cái cây mà còn biết nó được tạo thành từ các vòng gỗ, và ngay lúc này đây cái cây vẫn đang tạo ra thêm những vòng gỗ mới.
- Nhãn quan Cắt lát thời gian (time-lapse*): Năng lực này có thể giúp bạn thấy được con đường tương lai của một vật thể hiển hiện ngay trước mắt bạn (ngầu chưa?). “Ồ nhìn kìa, kia là mặt trăng. Trong vài ngày tới thì nó màu trắng, nhưng vào ngày thứ sáu bắt đầu từ bây giờ, nó sẽ xuống thấp và dần chuyển sang màu mà tôi thích (đỏ). Tôi sẽ đem máy ảnh ra chụp lúc đó.”
*Math2IT: Time-lapse là thuật ngữ hay sử dụng trong nhiếp ảnh, dựng video. Đây là kỹ thuật cho phép bức ảnh hoặc video có cảm giác như thời gian đang trôi rất nhanh (nên thường được gọi là Tua nhanh thời gian). Tuy nhiên, trong bài viết này, ý tác giả khi dùng từ time-lapse là giải tích cho phép người học thấy được toàn bộ “quỹ đạo” của một đối tượng, cho dù trên thực tế, người học chỉ nhìn thấy đối tượng trong trạng thái hiện tại.
Vậy Giải tích có ích gì? Cứ thử tưởng tượng bạn có khả năng sử dụng Nhãn quan X-Ray hoặc Cắt lát thời gian theo ý mình muốn. Với bất kỳ một đối tượng hoặc tình huống nào mà bạn quan tâm, giải tích là công cụ giúp bạn hiểu nó được tạo ra như thế nào và điều gì sẽ xảy ra với nó trong tương lai.
(Rất lạ là Marvel cho tới nay vẫn phớt lờ ý tưởng mà tôi gửi cho họ về một siêu anh hùng gọi là Người Giải tích.)
Điểm chung giữa Nhãn quan X-Ray và Cắt lát thời gian là gì? Chúng đều xem xét các mẫu hình theo từng bước một (step-by-step). Một tấm X-Ray cho ta thấy các lát cắt bên trong, và kỹ thuật Cắt lát thời gian giúp chúng ta đặt các lát cắt (trạng thái) theo thời gian bên cạnh nhau.
Nghe trừu tượng nhỉ. Thử xem qua các phương trình cho chu vi, diện tích, diện tích bề mặt, và thể tích cho hình tròn và hình cầu sau:
Bạn có cảm giác mơ hồ rằng các công thức này có liên quan tới nhau không?
Hãy thử bật Nhãn quan X-Ray của chúng ta lên và xem nó sẽ giúp gì cho chúng ta. Giả sử chúng ta biết chu vi hình tròn = và chúng ta muốn tìm ra phương trình để tính diện tích hình tròn. Chúng ta sẽ làm thế nào nhỉ?
Đây là một câu hỏi khó. Nếu là hình vuông thì tính dễ thôi, nhưng làm thế nào để chúng ta tính diện tích của một hình dạng luôn cong (như hình tròn)?
Giải tích tới cứu bồ đây. Với Nhãn quan X-Ray, chúng ta nhận thấy là một hình tròn thực chất chỉ là một loạt các vòng (rings) được ghép lại với nhau. Tương tự hình ảnh của cái vòng gỗ trong thân cây, đây là cách nhìn "từng bước một" của diện tích hình tròn:
Cách nhìn này hữu ích như thế nào? Chà, hãy thử “duỗi” (unroll) các vòng cong đó ra thành các đường thẳng để tiện tính toán hơn:
Wow! Chúng ta giờ có một loạt các vòng đã được “duỗi thẳng”, và khi ta xếp chúng cạnh nhau, chúng tạo thành một hình tam giác. Như vậy dễ tính toán hơn nhiều.
Chiều cao của mỗi vòng phụ thuộc vào khoảng cách gốc của nó tính từ tâm; nếu vòng cách tâm 3 mét thì nó sẽ có chiều cao mét. Vòng nhỏ nhất thực chất là một điểm, không có chiều cao. Chiều cao của vòng lớn chính nhất là chu vi của hình tròn ban đầu ().
Và bởi vì hình tam giác dễ tính toán hơn hình tròn, việc tính diện tích tam giác khá dễ. Diện tích của "hình tam giác làm từ các vòng" . Và đây chính là công thức tính diện tích hình tròn!
Nhãn quan X-Ray của chúng ta đã mở khoá một cấu trúc đơn giản, dễ tính toán cho một hình dạng cong. Chúng ta nhận ra rằng một hình tròn và một loạt các vòng được dán lại với nhau về bản chất là giống nhau. Từ một góc nhìn khác, một hình tròn thực chất chỉ là “lát cắt thời gian” của một vòng duy nhất đang lớn lên.
Nhớ hồi bạn học số học (arithmetic) không? Bạn phải học cách đếm một số, và rồi kết hợp nó với các số khác (cộng/trừ, nhân/chia, lấy mũ/căn). Về cơ bản mà nói thì việc học đếm không cần thiết vì tổ tiên người tiền sử của chúng ta vẫn sống “ổn” mà không cần tới nó.
Nhưng có một khái niệm cụ thể về “lượng” (quantity) làm cho việc tồn tại trong thế giới này dễ dàng hơn nhiều. Ví dụ như bạn có một đống đá, để mô tả số lượng của đống đá đó thì bạn không cần những từ như “lớn” hay “nhỏ” nữa mà bạn có thể sử dụng một số chính xác. Tương tự, bạn có thể biết chính xác mỗi thợ săn được nhận bao nhiêu mũi tên, hoặc liệu số quả mọng thu thập được có đủ cho bộ lạc không.
Thậm chí hơn cả thế, số học còn giúp chúng ta thấy được các “ẩn ý” đằng sau các phép tính nghiêm ngặt. Nó giúp mô tả của chúng ta về mọi thứ trở nên sắc sảo hơn, cho phép chúng ta định lượng mọi thứ từ mức độ cay của món ăn, đánh giá phim (1 sao đến 5 sao) cho đến tâm trạng của chúng ta (1 đến 10)*. Các công cụ đo lường cụ thể là một ý tưởng hữu ích, và khó từ bỏ một khi đã thấy.
*Math2IT: Ở Mỹ, các bệnh viện khi hỏi mức độ đau hoặc trạng thái tâm lý của bệnh nhân, họ thường đưa ra thang 1-10, với 1 thường là mức độ thấp nhất và 10 là cao nhất.
Giải tích cho chúng ta cách nhìn thế giới theo hai phép ẩn dụ mới: tách ra và dán lại. Một mẫu có thể được tách ra thành các phần, và các phần có thể được kết hợp lại thành một mẫu hình toàn vẹn.
Bạn có cần biết điều này để tồn tại không? Không. Nhưng nó thú vị.
Các con số và phương trình chỉ mô tả những gì chúng ta có, nhưng Giải tích chỉ ra các bước đã giúp chúng ta đạt được chúng . Thay vì chỉ nhìn thấy chiếc bánh, chúng ta có thể thấy công thức làm bánh.
Tất nhiên là Giải tích có chỗ đứng trong khoa học vì việc nắm được bản thiết kế từng bước (step-by-step) có giá trị hơn nhiều việc chỉ nhận được một kết quả cuối cùng. Nhưng trong các tình huống hàng ngày, chúng ta luôn có thể dùng Giải tích để nhìn theo một cách khác: Những bước nào đã đưa chúng ta đến đây? Cách tiếp cận đó có ưu điểm hoặc nhược điểm nào? Và dựa trên những bước này, chúng ta sẽ đi đâu tiếp theo?
Mời bạn đọc tiếp bài 2 để khám phá các góc nhìn khác của Giải tích.
