Tôi hy vọng bạn đã nghiền ngẫm câu hỏi trong bài viết trước: làm thế nào chúng ta có thể áp dụng các chiến lược X-Ray vào chiều thứ ba?
Đây là câu trả lời của tôi:
- Các vòng (rings) trở thành các lớp vỏ (shells) giống như lớp đường bọc bên ngoài một viên kẹo cứng. Mỗi lớp sẽ dày hơn lớp trước một chút.
- Các lát (slices) trở thành các miếng (wedges), là những phần giống hệt nhau như các múi của quả cam.
- Các tấm (boards) trở thành các đĩa (discs) có thể xếp chồng lên nhau được. (Thỉnh thoảng tôi mơ ước ngày nào đó sẽ mở một nhà nghỉ chỉ để phục vụ món bánh kếp hình cầu với các lớp xếp chồng lên nhau.)
Có thể nhận xét rằng các phần của phiên bản 3D được làm ra từ phiên bản 2D của chúng. Ví dụ, một tập hợp các lớp vỏ lồng nhau (ví dụ cấu trúc của trái đất với thạch quyển, quyển mềm, lớp phủ giữa, lõi ngoài, và lõi trong) có thể được tạo ra bằng việc quay các vòng riêng lẻ xung quanh 1 trục tưởng tượng nào đó.
Một miếng (tiếng anh: wedge) thì trông giống như một đống các lát pizza (với các kích thước khác nhau) xếp chồng lên nhau.
Cuối cùng, chúng ta có thể tưởng tượng việc quay tập hợp các tấm (như hình trên) theo trục ngang để tạo thành tập hợp các đĩa.
Những sự đánh đổi của phiên bản 3D cũng tương tự như phiên bản 2D. Cùng xem các video sau đây.
Các quá trình phát triển hữu cơ sẽ tăng trưởng theo chiến lược từng lớp một (shell-by-shell) (giống như việc hình thành ngọc trai trong con trai).
Các công việc yêu cầu sự phân chia công bằng thì sẽ đi theo chiến lược từng miếng một (ví dụ như việc cắt một quả táo cho bạn bè).
Các tiếp cận cứng nhắc từng đĩa một thì dễ dàng để sản xuất, ví dụ như việc sản xuất các bánh tạ (weightlifting plates).
Quả cam là một sự kết hợp thú vị: nhìn từ bên ngoài thì có vẻ như nó được tạo nên bởi các lớp vỏ phát triển theo thời gian. Nhưng bên trong, nó hình thành một cấu trúc đối xứng với các múi cam – rất phù hợp cho việc phân phối hạt một cách đồng đều phải không? Chúng ta có thể phân tích nó theo cả hai cách.
Trong bài học đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng các công thức của hình tròn/hình cầu có liên quan đến nhau:
Với nhãn quan X-Ray và Cắt lát thời gian, chúng ta có để giải thích rõ ràng sự liên quan giữa chúng:
- Chu vi: Bắt đầu với một vòng đơn lẻ (ngoài cùng).
- Diện tích: Lấp đầy hình tròn với các vòng bằng nhãn quan Cắt lát thời gian
- Thể tích: Coi hình tròn như một chiếc đĩa dẹt và áp dụng nhãn quan Cắt lát thời gian để xếp từng đĩa một thành hình cầu.
- Diện tích bề mặt: Dùng nhãn quan X-Ray lên hình cầu để phân tích nó ra thành từng lớp vỏ, và lớp vỏ ngoài cùng chính là diện tích bề mặt.
Bây giờ chúng ta đã có thể giải thích cặn kẽ cách mà từng công thức liên quan tới nhau. Chúng ta đã biết cách biến đổi các hình dạng sang phiên bản khác của chúng một cách trực quan bằng việc nghĩ "áp dụng Cắt lát thời gian cho cái này" hoặc "sử dụng X-Ray cho cái kia". Chúng ta thậm chí có thể truy ngược lại quá trình: bắt đầu với một hình cầu, chúng ta có thể áp dụng X-Ray để biến nó thành các đĩa, sau đó lấy một đĩa và X-Ray nó thành các vòng.
Có thể bạn đã để ý thấy việc mô tả ý tưởng của mình ngày càng khó khăn hơn. Chúng ta đang phải sử dụng các phép ẩn dụ thực tế (như vòng, tấm, miếng) để giải thích ý tưởng của mình: “Ok, lấy diện tích hình tròn đó và biến đổi nó ra thành các đĩa. Ừ, kiểu kiểu như vậy. Bây giờ xếp các đĩa đó thành hình cầu…”.
Tôi rất thích các sơ đồ và phép ẩn dụ, nhưng liệu chúng ta có nhất thiết phải dùng chúng để giải thích một ý tưởng không? Có lẽ là không.
Hãy nhìn vào cách các con số phát triển. Ban đầu, chúng ta sử dụng các ký hiệu rất cụ thể để đếm: I, II, III, và cứ thế. Cuối cùng, chúng ta nhận ra rằng một ký hiệu như V có thể thay thế cho IIIII, và thậm chí tốt hơn, mỗi chữ số có thể có một ký hiệu riêng. (Số “1” nhắc nhở về lịch sử lệ thuộc vào đường kẻ của chúng ta.)
Ký hiệu toán học giúp ích trong nhiều việc:
- Ký hiệu ngắn gọn hơn từ ngữ. Có thể thấy, “2 + 3 = 5” sẽ tốt hơn “hai cộng ba bằng năm”. Một sự thật thú vị: Vào năm 1557, Robert Recorde phát minh ra dấu "=" với hai đường song song, vì “không có hai thứ gì có thể bằng nhau hơn”.
- Các quy tắc làm việc hộ chúng ta. Với ký hiệu số La Mã, chúng ta thực chất đang viết nên ký hiệu con số một cách thủ công (tại sao phải tốn nhiều công viết ký hiệu VIII hơn khi viết ký hiệu I? Chỉ vì số 8 lớn hơn số 1? Đấy không phải một lý do chính đáng).
Các ký hiệu hệ thập phân (decimals) “làm hộ” chúng ta công việc biểu diễn các số và giúp chúng ta thao tác với chúng một cách dễ dàng. Cho tới giờ, chúng ta toàn phải tự làm lấy các công việc của giải tích: cắt một hình tròn thành các vòng, nhận ra rằng chúng có thể được duỗi thẳng ra và ghép lại thành hình tam giác, tra cứu công thức tính diện tích tam giác và tính ra kết quả. Liệu các quy tắc ký hiệu có thể “làm hộ” các công việc đó cho chúng ta được không? Chắc chắn rồi. Chúng ta chỉ cần làm rõ các quy tắc thôi.
- Chúng ta tổng quát hóa suy nghĩ của mình. “2 + 3 = 5” thực ra là “một lượng hai + một lượng ba = một lượng năm”. Nghe có vẻ kỳ cục, nhưng chúng ta có một số lượng trừu tượng (không phải người, tiền, hay bò… chỉ là “một lượng hai”) và chúng ta thấy được mối liên hệ của nó với các số lượng khác. Các quy tắc số học phục vụ cho mục đích tổng quát, và nhiệm vụ của chúng ta là áp dụng các quy tắc đó vào một vấn đề cụ thể.
Điểm cuối cùng này rất quan trọng. Khi học phép cộng, thầy cô của bạn có thể đã sử dụng những quả táo thật để biểu diễn hai cộng ba bằng năm. Sau khi thực hành nhiều, bạn bắt đầu sử dụng các ký hiệu trừu tượng mà không cần tới các ví dụ thực, và “2 + 3 = 5” trở nên hiển nhiên.
Giải tích cũng tương tự: nó hoạt động với các phương trình trừu tượng như 𝑓(𝑥)=𝑥², nhưng các ví dụ thực tế là một điểm khởi đầu tốt. Khi chúng ta thấy một hình dạng như thế này:
Chúng ta thực sự có thể nhìn thấy hiệu ứng của Giải tích (Calculus) khi một kỹ thuật được áp dụng, thay vì chỉ thấy rằng các ký hiệu đang bị biến đổi. Cuối cùng thì chúng ta sẽ có thể chuyển đổi các hình thành phương trình tương ứng và làm việc trực tiếp với các ký hiệu.
Thế nên là đừng nghĩ rằng Giải tích yêu cầu một đối tượng trong thế giới thực, giống như việc phép cộng không yêu cầu phải có các quả táo thật. Nó có thể phân tích bất kỳ hình dạng hoặc công thức nào (một phương trình vật lý, một tình huống kinh doanh, đồ thị của một hàm số) – chỉ là các hình dạng sẽ giúp chúng ta làm quen với Giải tích dễ hơn.
