Giải tích có thể giúp chúng ta rèn luyện cách sử dụng nhãn quan X-Ray và Cắt lát thời gian, chẳng hạn như việc sắp xếp lại một hình tròn thành "hình tam giác từ các vòng (rings)" mà chúng ta đã thấy từ bài trước. Điều này làm cho việc tính diện tích hình tròn trở nên... ừm, không hẳn là dễ ợt, nhưng khả thi hơn rất nhiều.
Tuy nhiên, chúng ta đã hơi tự mãn. Có đúng là tất cả hình tròn trong vũ trụ đều được cấu thành từ các vòng?
Hoàn toàn không! Chúng ta chắc chắn có thể sáng tạo hơn thế. Dưới đây là một vài cách khác để chúng ta có thể thực hành nhãn quan X-ray lên hình tròn:
Chúng ta có thể tưởng tượng một hình tròn như một tập hợp các vòng (rings), một tập hợp của các lát bánh pizza (pizza slices), hoặc một tập hợp của các tấm ván (boards). Mỗi cách chia là một chiến lược phân tích mẫu hình theo từng bước một (step-by-step) khác nhau.
Sử dụng nhãn quan Cắt lát thời gian, để được hình tròn gốc dạng các vòng như ở Hình 1, hãy tưởng tượng việc các vòng “dày lên” theo thời gian:
Có những nhận xét thú vị gì về tiến trình “dày lên” này nhỉ?
- Mỗi giai đoạn chuyển tiếp lại tương ứng với “một hình tròn mini” của riêng nó. Ví dụ, khi chúng ta đi được nửa quá trình, khi ấy chúng ta vẫn có được một hình tròn hoàn chỉnh, chỉ là hình tròn này có bán kính bằng một nửa hình tròn gốc (ngoài cùng bên phải).
- Mỗi bước lại tăng công việc lên một lượng. Việc này cũng giống như bạn cày một cánh đồng có hình tròn và chia lượng công việc ra trong vài ngày. Ngày đầu tiên, bạn bắt đầu từ trung tâm và không làm gì hết. Ngày tiếp theo, bạn cày một vòng mỏng nhất có thể. Các ngày sau đó bạn tiếp tục cày, nhưng ngày hôm sau bạn sẽ phải cày nhiều hơn hôm trước, cho đến khi bạn cày vòng quanh toàn bộ cánh ruộng tròn vào ngày cuối cùng.
- Lượng công việc khá dễ dự đoán và điều này rất hữu ích cho việc lập kế hoạch. Nếu chúng ta biết rằng mỗi vòng mới lại tốn thêm một phút để hình thành so với vòng cũ, thì vòng thứ 20 sẽ mất thêm 20 phút để hình thành.
- Phần lớn công việc diễn ra trong các vòng cuối. Trong 25% đầu của tiến trình, các vòng hầu như không phát triển: chỉ các vòng nhỏ được thêm vào. Gần về cuối, quá trình mới tăng tốc bằng cách thêm các vòng lớn, mỗi vòng có kích thường gần bằng kích thước của vòng cuối cùng.
Bây giờ là một câu hỏi thực tế: tại sao cây cối lại phát triển theo mẫu hình từng vòng một nhỉ?
Một cái cây lớn phải phát triển từ một cái cây nhỏ hoàn chỉnh. Với chiến lược từng vòng một, chúng ta luôn xây dựng hình tròn mới dựa trên một hình tròn hoàn chỉnh, đã được hình thành đầy đủ. Cũng giống như một cái cây không phát triển "nửa trái" rồi mới phát triển “nửa phải”.
Trên thực tế, nhiều quá trình phát triển tự nhiên (cây, xương, bong bóng, v.v.) sử dụng cách phát triển từ trong ra ngoài này.
Bây giờ cùng nghĩ về sự phát triển theo từng lát. Bạn có nhận xét gì?
- Với mỗi bước, lượng phát triển là như nhau. Thậm chí các phần còn giống hệt nhau nữa. Điều này có thể không quan trọng đối với toán học, nhưng trong thế giới thực, ví dụ trong việc cắt bánh chẳng hạn, chúng ta muốn giữ nguyên thao tác khi cắt một lát mới.
- Vì các lát là đối xứng, chúng ta có thể đẩy nhanh tiến độ bằng một vài thủ thuật, ví dụ như cắt nhiều đường ngang qua toàn bộ mặt bánh (tương tự như cắt bánh chưng vậy). Thủ thuật này rất hữu hiệu khi chúng ta muốn cắt ra thành nhiều lát y hệt nhau.
- Tiến trình rất dễ đo lường. Nếu chúng ta có 10 lát, thì ở ở nhát cắt thứ 6 chúng ta đã hoàn thành chính xác 60% công việc (theo cả diện tích và chu vi).
- Chúng ta sẽ quét qua cả hình tròn theo từng bước và không bao giờ phải quét lại hình tròn giống như với cách chia từng vòng một, khi mà mỗi một vòng mới bạn lại phải đi hết cho đủ 360 độ.
Hãy nghĩ về thế giới thực: những công việc nào sử dụng chiếc lược từng lát một, và tại sao?
Ờ chẳng hạn như là việc cắt thực phẩm. Bánh gato, bánh pizza, bánh táo: chúng ta muốn mọi người ai cũng được chia đều. Việc cắt thành lát rất đơn giản, có thể áp dụng thủ thuật cắt nhanh vài đường qua toàn bộ chiếc bánh, và cũng thấy ngay được còn lại bao nhiêu lát. Thử tưởng tượng giờ mà phải cắt các vòng tròn từ một chiếc bánh gato ra và ước lượng xem còn lại bao nhiêu…
Bây giờ hãy nghĩ về máy quét radar: chúng quét một chùm tia theo hình tròn, do thám một lát bầu trời trước khi di chuyển đến góc khác. Chiến lược này vẫn có điểm mù ở những góc chưa quét, một sự đánh đổi mà bạn hy vọng sẽ nhận ra.
So sánh điều này với các khả năng lan truyền âm thanh (sonar) được sử dụng bởi tàu ngầm hoặc loài dơi, phát ra một "vòng" âm thanh lan ra mọi hướng. Kỹ thuật này hoạt động tốt nhất cho các mục tiêu gần (bao phủ mọi hướng cùng một lúc). Nhược điểm là càng ra xa, sự lan truyền không tập trung sẽ càng yếu hơn, vì năng lượng ban đầu được phân tán qua một phạm vi (vòng) lớn. Chúng ta sử dụng loa phóng thanh và ăng-ten để tập trung tín hiệu thành chùm (như những lát mỏng) để có được phạm vi xa nhất cho năng lượng của mình.
Về mặt hậu cần, nếu chúng ta xây dựng một hình tròn từ một tập hợp các lát (như các phần gấp của một chiếc quạt giấy), thì sẽ rất tiện khi có mỗi phần đều giống nhau. Chúng ta có thể tìm ra cách tốt nhất để làm một lát, sau đó sản xuất hàng loạt chúng. Thậm chí tốt hơn: nếu một phần có thể được gập lại, toàn bộ hình dạng có thể gấp gọn lại (giống cái quạt giấy)!
Bạn đã bắt đầu quen với nhãn quan X-Ray và Cắt lát thời gian rồi phải không? Tuyệt. Giờ hãy nhìn vào quá trình trên và dành vài giây suy nghĩ về ưu và nhược điểm của nó. Cứ thong thả, tôi đợi được.
Sẵn sàng chưa? Ok. Đây là một vài nhận xét của tôi:
- Đây là một mẫu hình rất rập khuôn, với các tấm sắp xếp gọn gàng từ trái sang phải.
- Công việc của mỗi bước bắt đầu khá nhỏ, lớn dần lên, đạt đỉnh ở giữa, rồi bắt đầu thu nhỏ lại.
- Tiến trình của nó khá khó đoán. Chắc chắn, ở điểm giữa thì một nửa hình tròn đã hoàn thành, nhưng mẫu hình lên xuống này khiến việc phân tích trở nên khó khăn. Ngược lại, với mẫu hình từng vòng một (ring-by-ring) thì lượng thay đổi giữa hai vòng trước và sau luôn bằng nhau, và luôn theo chiều hướng tăng lên. Rõ ràng với mẫu hình từng vòng một thì các vòng cuối gánh vác phần việc nặng nhất. Còn với mẫu hình từng ván một thì phần giữa dường như là phần làm nhiều việc nhất.
Ok, đã tới lúc tìm hiểu mô hình này xuất hiện ở đâu trong thế giới thực.
Các boong tàu và cấu trúc bằng gỗ, chẳng hạn. Khi đặt các tấm ván gỗ, chúng ta không muốn phải đi men lại theo (retrace) các bước đã đi (đặc biệt nếu có các bước khác liên quan, như sơn chẳng hạn). Giống như cái cây có yêu cầu riêng của nó khi phát triển, là cần một vòng tròn hoàn chỉnh ở mỗi bước, thì một boong tàu cũng có yêu cầu riêng của nó, đấy là phải đặt các tấm ván một cách tiếp nối nhau theo đường thẳng (tuyến tính).
Trên thực tế, bất kỳ công việc nào khi phải tuân theo "một chuỗi các hoạt động" nghiêm ngặt đều có thể sử dụng cách tiếp cận này: hoàn thành một phần và chuyển sang phần tiếp theo. Bạn hãy tưởng tượng cách máy in hoạt động khi nó phải in một hình lên giấy (hoặc một ví dụ trong thời đại này là máy in 3D ). Với mỗi một vị trí, máy in chỉ thấy được một lần, nên phải làm thật sự chính xác!
Hình tròn ở đây không chỉ có nghĩa đen là một hình dạng thực sự. Nó có thể là đại diện cho một mục tiêu bạn đang cố gắng đạt được, ví dụ như là là kế hoạch tập thể dục hay danh sách các chủ đề cần đề cập trong một buổi nói chuyện.
Chiến lược chia thành từng tấm ván gợi ý bạn bắt đầu làm nhỏ, rồi làm nhiều lên dần cho tới khi lên đến đỉnh điểm và sau đó giảm dần. Khi chọn loại chiến lược để làm việc, thì chiến lược từng lát một khá dễ chịu (bạn chỉ phải làm một lượng công việc y như nhau mỗi ngày), nhưng chiến lược từng vòng một dễ khiến bạn nản chí: ngày hôm sau đòi hỏi bạn phải nỗ lực nhiều hơn ngày hôm trước.
Cho tới lúc này, chúng ta dùng toàn ngôn ngữ tự nhiên để giải thích các ý tưởng của mình, kiểu: "Chia ra thành các vòng" hoặc "Cắt hình tròn thành các lát pizza". Cách mô tả “thô sơ” kiểu này đúng là truyền đạt được ý niệm tổng quát, nhưng nó giống như việc chúng ta mô tả một bài hát bằng cách ngâm nga "Là đà đa đí đa"- e rằng bạn là người duy nhất hiểu điều đó có nghĩa là gì. Nhưng chỉ cần sắp xếp lại một chút, ý tưởng của bạn sẽ trở nên rõ ràng hơn hoàn toàn.
Để bắt đầu, chúng ta cần giải thích cách chia hình dạng thành các bước. Tôi thường tưởng tượng ra một mũi tên nhỏ chỉ theo hướng mà chúng ta di chuyển khi cắt mỗi mảnh:
Trong đầu tôi, tôi đang di chuyển theo mũi tên màu vàng, gọi ra các bước khi đi (bước tới, làm một vòng, bước tới, làm một vòng...).
Và mặc dù mũi tên cho thấy cách các vòng được tạo ra, việc hình dung ra các bước hơi khó khăn vì các vòng bị đặt sát với nhau bên trong hình tròn. Như trong chương đầu tiên, chúng ta có thể “duỗi thẳng” các vòng riêng lẻ ra và sắp xếp lại chúng, như hình sau:
Chúng ta vẽ một mũi tên màu đen để biểu thị đường xu hướng kích thước của mỗi bước. Trông cũng được của nó nhỉ? Chúng ta có thể thấy ngay rằng các vòng có xu hướng tăng lên, và lượng tăng của mỗi bước đều bằng nhau (mũi tên biểu thị xu hướng tăng là đường thẳng, và các vòng được duỗi ra khi xếp cạnh nhau nhìn giống một bậc thang).
Các “mọt toán” và những người cầu toàn đều thích sắp xếp mọi thứ sao cho gọn gàng, thẳng thớm. Có gì đó khiến những việc như vậy thật dễ chịu: ai mà không muốn sắp xếp lại những chiếc bút chì nằm bừa bãi trên sàn nhà?
Nhân tiện đây thì chúng ta hãy sắp xếp luôn các mẫu hình khác:
À há! Bây giờ thì việc so sánh từng cách chia hình tròn theo nhãn quan X-ray trở nên thật dễ dàng:
- Với các vòng, các bước tăng đều (đường xu hướng thẳng và dốc lên)
- Với các lát, các bước có cùng một kích thước (đường xu hướng thẳng và nằm ngang)
- Với các tấm ván, các bước lớn dần, đạt tới đỉnh, sau đó lại nhỏ dần (lên rồi xuống). Đường xu hướng trông như bị “vồng” lên vì các tấm ván được sắp xếp sao cho đáy của chúng nằm trên cùng một đường thẳng.
Các biểu đồ khiến cho việc so sánh các mẫu hình dễ dàng hơn, phải không nào? Đúng vậy đó. Nhưng gượm đã, không phải đường xu hướng hình như trông giống giống cái biểu đồ x-y đáng sợ hay sao?
Đúng vậy. Thật không may, nhiều lớp học chỉ vẽ mỗi đường xu hướng đen mà không cho bạn thấy những điều mà nó đại diện. Đúng là một cách thức để gây đau khổ: làm ơn hãy giải thích về ý nghĩa của biểu đồ một cách rõ ràng được không!
Đường xu hướng màu đen là một mô tả “siêu gọn” về một chiến lược X-Ray. Chúng ta thấy được kích thước của mỗi mảnh (qua chiều cao của biểu đồ) và cách mà kích thước của chúng thay đổi (qua đường xu hướng).
Sự khác biệt giữa “vòng”, “lát” và “tấm ván” không quan trọng: trong Giải tích, chúng đều là các mảnh của một mẫu hình toàn vẹn. Những từ như "lát", "vòng" hay "tấm ván" chỉ là các phiên bản khác nhau của ý tưởng "các mảnh của toàn bộ", và chúng ta sử dụng phiên bản nào cũng được.
Trong loạt bài này, chúng ta sẽ giữ cách vẽ biểu đồ như trên: các đường xu hướng và các mảnh riêng lẻ đều được vẽ ra. Đây là nền tảng cho sau này khi mà bạn tham gia các lớp học nâng cao, nơi mà bạn có thể sẽ phải làm việc trực tiếp với các biểu đồ. Nhưng nếu bạn chưa biết, thì Archimedes đã đặt nền móng cho Giải tích mà không cần tới biểu đồ x-y, và tìm ra kết quả cho mình mà không dùng tới biểu đồ.
Mọi thứ bắt đầu rõ ràng hơn một chút chưa? Bạn đã suy nghĩ tốt hơn với nhãn quan X-Ray và Cắt lát thời gian chưa?
Bạn có thể giải thích những gì đã học một cách đơn giản đến nỗi bà của bạn cũng có thể hiểu được?
Hãy mở rộng suy nghĩ của chúng ta vào chiều không gian thứ ba. Bạn có thể nghĩ ra một vài cách để dựng một hình cầu không? (Không cần tới công thức, bạn chỉ cần mô tả bằng lời là được.)
PS. Việc chúng ta tạo ra được một hình dạng "giống hình tròn" nhưng không phải là hình tròn thực sự, mượt mà có thể khiến bạn khó chịu. Đấy là một câu hỏi hay, và chúng ta sẽ đề cập tới nó sau. Nhưng nếu mà chi li ra thì việc các điểm ảnh hình vuông (pixel) trên màn hình máy tính tạo ra các ký tự "giống chữ cái", nhưng không phải là chữ cái thực sự, mượt mà chắc hẳn cũng khiến bạn phải cảm thấy khó chịu. Nhưng kể cả thế thì các "ký tự giống chữ cái" vẫn có khả năng truyền đạt thông tin như các chữ cái thực sự!
Hẹn bạn ở kỳ tiếp theo nhé.
