Trong những bài trước, chúng ta đã mô tả quá trình suy nghĩ của mình bằng các phép ẩn dụ (nhãn quang X-ray, Cắt lát thời gian) và các sơ đồ:

Tuy nhiên, cách trình bày ý tưởng đấy khá là phức tạp. Hôm nay tôi sẽ giới thiệu với các bạn thuật ngữ toán học chính thức cho những khái niệm trực quan của chúng ta:

Cùng tìm hiểu các thuật ngữ nghe có vẻ “cao siêu” này nhé.

Đạo hàm (Derivative)

Sau khi áp dụng nhãn quan X-ray lên một hình dạng, chúng ta thu được các lát cắt. Mẫu hình (pattern) của các lát cắt đó chính là đạo hàm. Nó được thể hiện bằng đường xu hướng (trend line) màu đen, có thể là đường thẳng, có thể liên tục tăng, có thể tăng rồi giảm, v.v. Một tip thú vị là, mặc dù đạo hàm tạo ra một chuỗi toàn bộ các lát cắt, chúng ta vẫn có thể tách ra một lát cắt đơn lẻ bằng đạo hàm.

Giả sử chúng ta có một hàm, ví dụ Hàm này mô tả mọi giá trị bình phương có thể tồn tại (1, 4, 9, 16, 25, v.v.), và chúng ta có thể biểu diễn tất cả các giá trị đó trên một đồ thị. Nhưng chúng ta cũng có thể tính ra giá trị của với một giá trị đầu vào cụ thể, chẳng hạn như tại .

Đạo hàm cũng tương tự như vậy. Về mặt chính thức thì nó là mẫu hình toàn vẹn của tất cả các lát cắt mà chúng ta thu được sau khi áp dụng nhãn quang X-ray lên một hình dạng. Tuy nhiên, chúng ta có thể tách ra một lát cắt đơn lẻ bằng cách đạo hàm tại một giá trị cụ thể. (Đạo hàm cũng là một hàm, giống như , và trừ khi bạn nêu rõ là muốn một lát cắt cụ thể, các nhà toán học sẽ mặc định rằng bạn đang nói về toàn bộ hàm).

Vậy chúng ta cần những gì để tìm được đạo hàm? Chúng ta chỉ cần hình dạng cần phân tách và hướng mà chúng ta sẽ phân tách (chính là mũi tên màu cam trong các đồ thị ở các bài trước). Thuật ngữ này nói rằng "tính đạo hàm của <mẫu hình nào đó> theo <hướng nào đó>". Ví dụ:

Đạo hàm của một hình tròn theo bán kính tạo ra các vòng (có kích thước tăng lên liên tục)

Đạo hàm của một hình tròn theo chu vi tạo ra các lát cắt (có kích thước bằng nhau)

Đạo hàm của một hình tròn theo trục x tạo ra các tấm (có kích thước tăng lên, đạt đỉnh, rồi giảm xuống)

Việc tính đạo hàm cũng được coi là quá trình “phép vi phân” (differentiating), vì chúng ta đang tìm sự khác biệt giữa các vị trí liền kề khi một hình dạng phát triển. Khi chúng ta tăng bán kính của một hình tròn, vòng ngoài là sự khác biệt giữa kích thước của hình tròn hiện tại và kích thước của hình tròn tiếp theo.

Tích phân, Mũi tên và Các lát cắt

Tích phân (integral) là việc ghép lại các lát cắt và tính ra kết quả cuối cùng (giống việc sử dụng nhãn quan Lát cắt thời gian vậy). Ví dụ, chúng ta đã ghép các vòng lại với nhau (thành một “tam giác vòng (ring triangle)”) và thấy rằng tổng diện tích của chúng là , tức là diện tích của một hình tròn.

Ảnh động trên Wiki cho chúng ta cái nhìn trực quan hơn.

Để tìm tích phân, chúng ta cần biết:

Chúng ta đang ghép các lát theo hướng nào? Theo đường mũi tên cam (trong trường hợp này là bán kính).

Khi nào chúng ta bắt đầu và kết thúc? Tại điểm bắt đầu và kết thúc của mũi tên (chúng ta bắt đầu từ 0 (không có bán kính) và di chuyển đến là bán kính đầy đủ).

Mỗi bước có kích thước bao nhiêu? À… mỗi bước tương ứng một “vòng”. Như vậy là đủ chi tiết chưa nhỉ?

Chưa! Chúng ta cần nói cụ thể hơn. Tôi biết là từ trước tới giờ chúng ta chỉ nói chung chung là cắt một vòng tròn thành các “vòng” hoặc “miếng pizza” hoặc “tấm ván”. Nhưng điều đó chưa đủ cụ thể; việc này giống như một công thức làm món BBQ được viết theo kiểu “Nướng thịt. Nêm nếm theo khẩu vị. Chấm hết.”

Có thể mấy chuyên gia sẽ biết phải làm gì, nhưng với chúng ta thì cần phải có thêm chi tiết. Mỗi bước cụ thể là bao nhiêu (thuật ngữ gọi là “hàm bị tích” (integrand))?

À còn nữa, bạn nên lưu ý như sau về các biến:

Nếu chúng ta đang di chuyển theo bán kính, thì chính là phần nhỏ của bán kính trong bước hiện tại.

Chiều cao của vòng (được duỗi thẳng ra) chính là chu vi, tức là .

Có một số điều hiểm hóc nữa mà bạn cần lưu ý.

Đầu tiên, (dịch ra tiếng việt là biến của tích phân) là một biến riêng, không phải là “d nhân với r”. Nó đại diện cho phần nhỏ của bán kính trong bước hiện tại. Ký hiệu này (, , v.v.) thường được viết cách hàm bị tích (integrand) chỉ bằng một khoảng trống, và thường được giả định rằng nhân với hàm bị tích (viết là ).

Tiếp theo, nếu là biến duy nhất được sử dụng trong tích phân, thì được giả định là có mặt ở đó. Vì vậy, nếu bạn thấy thì điều này vẫn ngụ ý rằng chúng ta đang thực hiện đầy đủ . (Tuy nhiên, nếu có hai biến tham gia, như bán kính và chu vi, bạn cần làm rõ bước nào chúng ta đang sử dụng: hay ?)

Cuối cùng, hãy nhớ rằng (bán kính) thay đổi khi chúng ta sử dụng Lát cắt thời gian, bắt đầu từ 0 và dần dần đạt đến giá trị cuối cùng của nó. Khi chúng ta thấy trong ngữ cảnh của một bước, điều đó có nghĩa là “kích thước của bán kính tại bước hiện tại” chứ không phải là giá trị cuối cùng mà nó có thể đạt được.

Những vấn đề này rất rối rắm. Nếu được thì tôi muốn sử dụng ký hiệu để nói “ tại bước hiện tại” thay vì một đa năng dễ bị nhầm lẫn với giá trị tối đa của bán kính. Thật không may, bây giờ đã quá muộn để có thể thay đổi các ký hiệu toán học.

Luyện tập ngôn ngữ Giải tích

Giờ chúng ta cùng học cách nói như những người bản xứ ở vương quốc giải tích. Dưới đây là cách chúng ta có thể mô tả các chiến lược X-Ray của mình:

Hãy nhớ rằng, đạo hàm chỉ chia hình dạng thành các bước (hy vọng là) dễ đo, chẳng hạn như các vòng có kích thước . Giống như thể chúng ta đã phá bộ lego và các mảnh đang nằm rải rác trên sàn. Giờ chúng ta cần một tích phân để gắn các phần đó lại với nhau và đo kích thước mới. Hai anh bạn này giống như một đôi vân động viên theo nhóm vậy:

Đạo hàm nói: “Được rồi, tôi đã chia hình dạng thành từng phần cho bạn. Chúng trông như những mảnh có chiều cao và chiều rộng .”

Tích phân nói: “À, những mảnh đó ghép lại trông giống như một tam giác – tôi có thể đo được! Tổng diện tích của tam giác đó là , và trong trường hợp này, điều đó tính ra là .”

Dưới đây là cách chúng ta viết các tích phân để đo các bước mà chúng ta đã thực hiện:

Một vài điểm cần lưu ý:

Thường thì, chúng ta viết một hàm bị tích như là một “miếng pizza” hoặc “tấm ván” không cụ thể (bạn có thể sử dụng các tên nghe có vẻ chính thức như hoặc nếu bạn thích). Trước tiên, chúng ta thiết lập tích phân, và sau đó chúng ta lo lắng về công thức chính xác cho một tấm ván hoặc miếng pizza.

Vì mỗi tích phân đại diện cho các miếng cắt từ hình tròn gốc của chúng ta, chúng ta biết rằng chúng sẽ giống nhau. Do vậy, việc gắn bất kỳ tập hợp các miếng cắt nào cũng nên trả về tổng diện tích, đúng chưa nào?

Tích phân thường được mô tả là “diện tích dưới đường cong” (the area under the curve). Cách nói này chính xác, nhưng có phần hạn hẹp. Đúng, chúng ta đang gắn các miếng cắt hình chữ nhật dưới đường cong lại với nhau. Nhưng điều này hoàn toàn bỏ qua tư duy X-Ray và Cắt lát thời gian mà chúng ta đã sử dụng. Tại sao chúng ta phải xử lý một tập hợp các miếng cắt thay vì một đường cong ngay từ đầu? Có lẽ vì các miếng cắt đó dễ xử lý hơn so với việc phân tích chính hình dạng đó (làm thế nào để bạn “đo trực tiếp” một hình tròn?).

Câu hỏi

Với các công việc có độ trừu tượng cao, bạn có thể tìm ra những hoạt động khác trở nên dễ xử lý hơn khi sử dụng ký hiệu, thay vì dùng mô tả bằng chữ viết? Liệu các chuyên gia có bao giờ quay lại mô tả bằng chữ viết không?

Toán học cũng giống như vậy. Hãy thử luyện tập một vài cụm từ, ngay cả khi chúng ta chưa thành thạo.

Câu hỏi 1: Bạn có thể mô tả các tích phân dưới đây bằng “Chữ viết Toán học” không?

Giả sử mũi tên kéo dài nửa bán kính. Bạn có thể viết mô tả theo cú pháp sau:

tích phân [kích thước bước] từ [bắt đầu] đến [kết thúc] theo [biến đường đi]

Bạn có nghĩ ra được ý tưởng nào không? Đây là câu trả lời cho tích phân đầu tiên và tích phân thứ hai. Các liên kết này dẫn đến Wolfram Alpha, một ứng dụng giải toán trực tuyến mà chúng ta sẽ học cách sử dụng.

Câu hỏi 2: Bạn có thể tìm cách mô tả ý tưởng lát pizza của chúng ta theo kiểu "Chữ viết Toán học" không?

Mô tả của chúng ta sẽ theo cú pháp này:

tích phân [kích thước bước] từ [bắt đầu] đến [kết thúc] theo [biến đường đi]

Nhớ rằng mỗi lát cắt về cơ bản là một tam giác (diện tích tam giác là gì?). Các lát cắt di chuyển theo chu vi (bắt đầu và kết thúc ở đâu?). Bạn có nghĩ ra được mô tả không? Đây là câu trả lời cho mô tả từng lát cắt.

Câu hỏi 3: Bạn có thể mô tả cách chuyển đổi từ thể tích sang diện tích bề mặt không?

Giả sử chúng ta biết thể tích của một hình cầu là 4/3 * pi * r⌃3. Hãy nghĩ về các hướng dẫn để tách thể tích đó thành một chuỗi các lớp vỏ. Chúng ta đang di chuyển theo biến nào?

lấy đạo hàm của [phương trình] theo [biến đường đi]

Bạn đoán được chứ? Tuyệt vời. Đây là mô tả để chuyển đổi thể tích thành diện tích bề mặt.

Câu trả lời cho các câu hỏi ở trên.