Phần hai tiếp tục giải đáp những thắc mắc còn dang dở ở phần 1 và nói thêm về sự liên quan giữa ý tưởng giới hạn và các định nghĩa trong SGK chúng ta được học cũng như các ứng dụng thực tế của nó.
Tôi đã giải thích những vấn đề sau cho anh bạn “tò mò” của tôi.
- Lịch sử hình thành giới hạn từ những nghịch lý của Zeno đến định nghĩa đầy đủ của giới hạn dưới dạng của Bolzano & Weierstrass.
- Khi nói về giới hạn, bạn phải luôn nhớ chữ “tiến về“. Khi tiến về thì tiến về chứ không phải bằng .
- Giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn rằng sẽ tiến về đâu nếu tiến về đâu đó.
OK, nào anh bạn của tôi, chúng ta tiếp tục chuyện trò nào. Anh còn thắc mắc nào khác không?
Có chứ anh, tôi hỏi tiếp nhé. Tại sao cái tôi học nó có vẻ chả liên quan gì đến ý tưởng ở trên này hết vậy?
Có hai lý do khiến bạn thấy điều bạn học chả liên quan gì.
Thứ nhất, các ý tưởng phát biểu bằng lời đều được “dịch” sang ngôn ngữ của biểu thức, con số và ký hiệu trong Toán học. Rồi khi đọc nó, người ta lại đọc sang một kiểu khác. Nếu xét về mặt ý nghĩa bên trong thì như nhau nhưng người ta không chịu hiểu nó theo ý tưởng ban đầu mà chỉ hiểu theo cái mà người ta nghe. Ví dụ như , quy tắc “trừ của trừ là cộng” là cách người ta “đọc” các ký hiệu toán học nhưng ý nghĩa thực sự để ra cái “” ấy lại khác, dù cả hai cái đều cho ra cùng một kết quả. Đọc bài Hiểu về dấu trừ và phép trừ trong toán học để hiểu thêm nhé.
Thứ hai là do các nhà viết sách Việt Nam đã “đơn giản hóa” định nghĩa ký hiệu một lần nữa để cho học sinh bớt phiền phức. Cái này hiểu nôm na giống như quyển Nhà Giả Kim của Paulo Cohelo. Bản gốc là tiếng Brasil (một biến thể của tiếng Bồ Đào Nha) nhưng khi dịch ra tiếng Việt lại dựa trên phiên bản tiếng Đức của nó. Dù đa phần chi tiết đều không sai nhưng khiến người đọc lệ thuộc vào bản tiếng Việt mà không hề biết gì về bản gốc tiếng Brasil của nó. Giới hạn được định nghĩa trong SGK cũng vậy đấy!
Vậy anh có thể cho tôi thấy các khái niệm trong SGK cũng trùng với ý tưởng anh đã nói ở phần trước không?
Trước khi trả lời câu hỏi này, ta hãy cùng nhìn lại định nghĩa trong SGK đã (nói thật, tôi rất ghét phải đưa nó ra, rờm rà và không đúng mục đích bài viết này – bài viết chỉ nói về ý tưởng). Có rất nhiều định nghĩa được nêu ra trong SGK
- Định nghĩa giới hạn của một dãy số.
- Định nghĩa giới hạn tới vô cực của dãy.
- Định nghĩa giới hạn của một hàm số tại một điểm.
- Định nghĩa giới hạn tới vô cực của một hàm số.
- Định nghĩa giới hạn một phía.
Làm sao có thể vừa dạy bạn hiểu bản chất của giới hạn, vừa giúp bạn có thể dễ dàng tính các giới hạn chỉ trong vòng 45 phút? Thầy cô bắt buộc phải tìm cách khác! Cách làm cho bạn phải ghét Toán học!
Quá trời định nghĩa và thầy cô của bạn thường cho bạn cưỡi ngựa xem hoa để đi ngay vào học “các quy tắc tính” là chính. Không thể trách họ khi họ chỉ có 45 phút để dạy bạn hết các định nghĩa này kèm theo các bài tập áp dụng! Ở đây tôi sẽ tập trung nói về ba định nghĩa thôi, cốt yếu để bạn thấy rằng những cái người ta đưa ra không phải là vô lý.
Định nghĩa 1 (Giới hạn của dãy số)
Ta nói dãy số có giới hạn là khi dần tới vô cực, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu: hay khi .
Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại một điểm)
Cho khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên hoặc trên . Ta nói hàm số có giới hạn là khi dần tới nếu với dãy số bất kỳ, và , ta có . Ký hiệu: s hay khi .
Có vẻ như định nghĩa giới hạn của hàm số là dựa vào định nghĩa của dãy số phải không anh?
Bạn nhận xét đúng rồi đấy. Có hai cách định nghĩa khác nhau cho giới hạn hàm số tại một điểm (hoặc giới hạn của hàm số tới vô cực, ta gọi chung là giới hạn hàm số nhé). Cách thứ nhất là định nghĩa thông qua hai đại lượng như những gì mà Bolzano và Weierstrass đã làm. Cách thứ hai là định nghĩa thông qua dãy số, cái này do nhà Toán học Heine nêu lên.
Để cho việc định nghĩa bớt rờm rà và tránh đi việc học sinh phải tiếp nhận một cách định nghĩa “khác”, những người soạn SGK đã sử dụng cách của Heine (nghĩa là thông qua dãy số) để định nghĩa giới hạn hàm số. Nó giúp cho học sinh có cảm giác “à, cái này cũng tương tự cái trước đó mình học”. Tuy nhiên, đó chỉ là cảm giác tạm chấp nhận nhưng không giúp nhiều trong việc hình thành ý tưởng giới hạn cho học sinh.
Định nghĩa 3 (Giới hạn của hàm số tại một điểm)
Cho khoảng chứa điểm và hàm số xác định trên hoặc trên . Ta nói hàm số có giới hạn là nếu với mỗi , tồn tại một số sao cho khi thì .
Khi lên đại học hoặc học sâu hơn thì người ta chuộng cách định nghĩa gốc theo hơn vì nó tự nhiên hơn. Khi đó, định nghĩa của Heine người ta thường để nó vào một định lý hoặc nhận xét. Nếu bạn thích, bạn có thể xem chứng minh sự tương đương của hai định nghĩa trên như dưới đây (không khuyến khích lắm vì nó hơi nặng về mặt toán học)
Điều này có nghĩa là chỉ cần một trong hai định nghĩa trên được giải thích thì định nghĩa còn lại cũng đúng.
Như tôi đã nói ở phần 1, giới hạn cho ta niềm tin vào dự đoán mà giới hạn cho ta biết. Niềm tin này được hình thành từ sự đáp ứng của tôi so với độ khó tính vô hạn của bạn.
Bạn đưa ra một ranh giới mà bạn có thể chấp nhận, tôi tìm được ngay một điểm dừng phù hợp với ranh giới ấy.
Quay trở lại với ví dụ về An và Bình. An yêu cầu Bình nhảy tới rìa của bờ vực. Bình rõ ràng không thể nhảy ngay tới vị trí đó (vị trí B), tuy nhiên khả năng của cậu là hoàn toàn có thể. Nếu như Bình có thể nhảy tới vị trí khác B, cậu sẽ sống sót. Do đó, Bình nói với An rằng
Cậu rõ ràng không thể bắt tớ nhảy ngay tới B vì tớ sẽ chết, không lẽ cậu muốn tớ chết, đúng không? Tuy nhiên, để chứng minh khả năng của mình mà không bị chết, tớ có thể nhảy tới điểm gần B bao nhiêu cũng được, miễn sao không chạm vào B. Gần bao nhiêu thì tùy cậu chọn!
Sự cam kết này của Bình là điều khẳng định chắc chắn. An có thể yêu cầu khoảng cách gần B bao nhiêu cũng được, một khoảng cực kỳ nhỏ, nhỏ xíu xiu luôn, nhỏ hơn bất kỳ cái gì trên đời, nhỏ như…“đại lượng vô cùng nhỏ” (Xem thêm bài Đại lượng vô cùng nhỏ – ý tưởng khai sinh ra nền toán học hiện đại ) nhưng vẫn đảm bảo không bị triệt tiêu (rơi ngay B). Ứng với mỗi yêu cầu khoảng cách của An, Bình cần lấy đà tương ứng để có thể nhảy tới địa điểm đó.
- An: gần B 0.1m.
- Bình: nếu thế thì tớ cần lấy đà tối thiểu 2m.
- An: gần hơn nữa, 0.01m
- Bình: OK, tớ sẽ lấy đà xa thêm chút, tối thiểu là 2.1m
- …
- An: gần 0.0000000…1m
- Bình: lấy đà tối thiểu 2.1000…1m
Cứ thế, cậu bé khó tính An có yêu cầu bất cứ ranh giới nào thì Bình cũng có thể đáp ứng được. Niềm tin của An được xây dựng từ đó. An mãi mãi không biết rằng Bình sẽ nhảy được đến ngay vị trí B hay không, tuy nhiên nhu cầu vô hạn của cậu đều được đáp ứng một cách thỏa đáng.
Nhu cầu của bạn lớn đến cỡ nào?
Một tấm áp phích quảng cáo thật to được in ra và treo ở ngay giữa một quảng trường rộng lớn. Bạn tình cờ đi qua đấy, nhìn thấy tấm áp phích và khen “Sao người ta có thể in ra hình ảnh sắc nét đến như vậy nhỉ?”. Tuy nhiên, khi lại gần, bạn lại thấy nó bắt đầu bị “rổ”. Điều này cũng xuất hiện khi bạn phóng to một bức ảnh .jpg trên máy tính của mình, cho dù tấm ảnh đó được chụp bởi một máy ảnh thật xịn nhưng khi zoom đến một mức nào đó nó cũng lại xuất hiện “rổ”.
Tuy có nhược điểm nhưng rõ ràng tấm áp phích vẫn rất “nét” với các tài xế đi đường chạy lướt qua ở một khoảng cách đủ để mắt các tài xế không phân biệt được các điểm rổ. Bức ảnh bạn chụp được in ra trên một khuông giấy đủ lớn phù hợp nhu cầu của bạn nhưng vẫn không khiến mắt bạn khó chịu. Đối với bạn, nhu cầu đã được đáp ứng. Bạn sẽ không phân biệt nổi một bộ phim HD 1080 và cũng bộ phim ấy với chất lượng 4K chỉ với chiếc máy tính bình dân của mình.
Nhu cầu của bạn trong cuộc sống rõ ràng là hữu hạn, đến ranh giới nhu cầu ấy, bạn sẽ không phân biệt được đâu là hữu hạn, đâu là vô hạn nữa. Toán học cũng tương tự như thế, tuy nhiên nó biết rằng bạn cần một sự chắc chắn tuyệt đối, chắc chắn đến độ bạn cũng không thể tưởng tượng nổi, nhu cầu của An có thể nhỏ vô cùng tận thì Bình cũng lại có thể đáp ứng. Đó chính là sự chắc chắn trong dự đoán của giới hạn.
Quay trở lại với định nghĩa của giới hạn trong toán học. Tôi cố tình tách Định nghĩa 1 ra như sau
- (1) sẽ tiến về
- (2) khi dần tới
- (3) nếu như có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,
- (4) kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Và dưới đây là sự tương ứng của ý tưởng với cái định nghĩa hình thức này
- Dự đoán: sẽ tiến về (1) khi dần tới (2)
- Nhu cầu của bạn: có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý (3)
- Đáp ứng của tôi: kể từ một số hạng nào đó trở đi (4)
Bạn chọn một con số vô cùng bé mà bạn nghĩ nó đủ sức làm bạn tin là gần như là . Để chi? Để nhỏ hơn nó thì cũng được xem như là hay (cẩn thận "=" ở đây có nghĩa là "tiến về"). Nhưng bạn đòi hỏi là tôi phải chỉ ra cho bạn thấy được rằng phải có một phần tử nào đó để từ nó trở đi thì luôn thỏa. Điều này đảm bảo rằng sẽ không có một đứa nào đó của dãy "chơi trội", đi lớn hơn con số mà bạn đưa ra để đánh đi niềm tin của bạn. Hãy nhớ lại ví dụ chứng minh con trai-con gái của tôi ở kỳ trước, chỉ cần chỉ ra 1 thằng trong dãy không thỏa nhu cầu thì coi như tôi là thằng nói cuội.
Tương tự, chúng ta xét định nghĩa hàm số tại một điểm. Như đã nói ở trên, định nghĩa trong SGK dựa trên dãy số hoàn toàn không có ý nghĩa tượng trưng thực tế, tuy nhiên nó đã được chứng minh là giống với định nghĩa theo nên tôi sẽ giải thích ý nghĩa tượng trưng của giới hạn hàm số theo hai đại lượng này.
Tôi sẽ cố tình viết lại Định nghĩa 3 như sau
- (1) Hàm số có giới hạn là
- (2) nếu với mỗi
- (3) tồn tại sao cho thỏa tập xác định hàm số
- (4) thì
Và sự tương ứng của ý tưởng giới hạn với định nghĩa trên
- Dự đoán: tiến về (1) khi tiến về
- Nhu cầu của bạn: (4) với mỗi bất kỳ (2)
- Đáp ứng của tôi: tồn tại sao cho thỏa TXĐ hàm số (3)
Bạn chọn một số vô cùng bé mà bạn nghĩ nó đủ sức thuyết phục bạn tin rằng nó gần như là . Để chi? Để khi nhỏ hơn nó thì cũng được xem như là hay tiến về . Nhưng bạn đòi hỏi là tôi phải chỉ ra cho bạn một vùng xung quanh đảm bảo rằng mọi giá trị hàm tại các điểm bên trong vùng đó đều thỏa nhu cầu của bạn, vùng ấy chính là . Xem hình sau để hình dung rõ hơn.
Cho dù bạn chọ vùng xung quanh nhỏ đến cỡ nào thì chỉ cần cho tiến vào vùng xung quanh mà tôi chỉ ra là yêu cầu của bạn sẽ thỏa. Khi vùng bạn chọn nhỏ dần, nhỏ dần đến khi nhu cầu của bạn về vùng ấy gần bằng 0 thỏa mãn thì hàm khi ấy chính thức được xem như là tiến về .
OK, cảm ơn anh, giờ tôi đã hiểu ý tưởng của định nghĩa trong SGK. Chỉ còn một thắc mắc duy nhất về minh họa trực quan cho giới hạn này. Tại sao anh dám đảm bảo sẽ tiến về mà không phải là một con số rất gần ? Ví dụ như ở phần 1, tại sao anh dám chắc hàm số sẽ tiến về mà không phải là hay ?
Lại thêm một câu hỏi hay khác nữa! Tôi hiểu vì sao bạn có thắc mắc như vậy. Đó là bởi khi bạn liệt kê các kết quả khi tiến về với nhiều giá trị để tìm dự đoán thì với sức lực hạn hẹp của con người, bạn không thể thử vô hạn lần được. Giả sử bạn thử đến lần thứ 5 với con số (5 con số 9) để tìm được giá trị tương ứng là (5 con số 9). Rồi bạn đi dự đoán tiến về 4. Tuy nhiên, rủi tiền về thì sao?
Tôi sẽ chứng minh cho bạn thấy điều này. Tuy nhiên, tôi nhận thấy câu hỏi này thật sự chỉ là một câu hỏi “thêm”. Do đó, không yêu cầu độc giả khác phải đọc, nếu thích, bạn khác có thể nhấn vào đọc hoặc không. Mục đích là tránh làm bài viết quá dài.
Tại sao lại có khái niệm giới hạn một bên vậy anh? Rồi khi nào thì không tồn tại giới hạn?
Tôi đã nói nhiều về cụm từ "lân cận" ở trên. Mà lân cận thì phải có đủ hai phía, lân cận bên trái của là (), còn lân cận bên phải của nó là (). Khi ta nói tiến về thì theo bạn chữ "tiến về" được hiểu như thế nào?
Như ví dụ đã nói ở các mục trước, ta lần lượt lấy "tăng dần" từ 1.5 đến 1.999 rồi 1.9999, ... vậy còn những giá trị "giảm dần" từ 2.5, 2.001, 2.000001,... thì sao? Khi tiến từ trái sang (ứng với lân cận trái) cho ta một dự đoán. Khi tiến từ phải sang (lân cận phải) cho ta một dự đoán khác. Nếu cả hai dự đoán đó đều như nhau thì ta có được sự tồn tại của giới hạn. Ngược lại, nếu hai dự đoán là khác nhau thì giới hạn không tồn tại. Khi ấy người ta sử dụng thuật ngữ "giới hạn một phía" để ám chỉ việc tiếp cận một phía mà thôi.
Tôi dám cá nó chỉ có trong Toán thôi đúng không?
Không phải vậy đâu bạn ơi. Trước hết, giới hạn trong Toán là một công cụ bổ trợ cho các lý thuyết khác. Chính các lý thuyết khác này mới có ứng dụng thực tế cao. Thế nên thay vì thấy tác dụng của giới hạn trong thực tế, bạn chỉ thấy các lý thuyết kia thôi. Điều này cũng tương tự như sử sách chỉ ghi danh Ngô Quyền đánh tan quân Nam Hán trên sông Bạch Đằng nhưng thật ra một anh tên Nguyễn Văn Tèo nào đấy cũng có tham giá trận đánh đó mà bạn không biết. Khi nhắc đến tên anh ta, bạn lại bảo anh ta chả có công trạng gì.
Tôi cũng cố gắng tìm kiếm những ứng dụng thực tế của giới hạn, bên dưới là một số ứng dụng mà tôi tìm thấy, bạn xem nhé.
Giới hạn là một công cụ để định nghĩa đạo hàm và rất nhiều khái niệm khác trong calculus và giải tích. Chúng mới thật sự có sức mạnh ứng dụng thực tiễn. Bạn sẽ thấy lại bóng dáng của giới hạn ở những bài tiếp theo trên Math2IT.
Thật sự để một em học sinh bình thường (hoặc đang ghét toán, kém toán) đọc bài viết này là một sai lầm vì sẽ làm em “thêm rối”. Tuy nhiên nó sẽ giúp sức rất nhiều cho những đối tượng kiên nhẫn hơn và có đầu óc tư duy tốt hơn để họ có ý tưởng nhiều hơn, biết cách vận dụng hơn khi giải thích khái niệm giới hạn cho những học sinh khác.
Nếu có một video nói về những điều này và cũng với những ý tưởng như thế này thì nó chắc chắn sẽ dễ tiếp nhận hơn rất nhiều so với những dòng chữ khô khan này.
Hy vọng một phần nào đó tôi đã giúp bạn đọc có được sợi dây liên kết giữa khái niệm trừu tượng trong SGK về giới hạn và ý tưởng hình thành nó.
Hãy nhớ,
Giới hạn cho ta một dự đoán chắc chắn về giá trị hàm số khi biến tiếp cận một đại lượng nào đó.
Bạn có thể đọc thêm những bài viết khác nói về giới hạn ở danh sách bên dưới (đa phần là tiếng Anh)
- Limit (an introduction) của Math is Fun: trang không giải thích ý nghĩa trực quan nhiều nhưng việc tiếp cận giới hạn rất tự nhiên.
- An Intuitive Introduction To Limits của anh Kalid Azad (tác giả trang Better Explained).
- Why Do We Need Limits and Infinitesimals? cũng của anh Kalid Azad.
- Is 0.999..99 really equal to 1? của John Gabriel.
