Vào cuối tháng 2 năm 2010, tôi có nhận được email từ một độc giả tên là Kim Forbes. Đứa con trai 6 tuổi của cô ấy đã hỏi cô một câu hỏi về toán mà cô ấy không thể trả lời được. Cô hy vọng tôi có thể giúp cô giải thích nó:
Hôm nay là ngày đi học thứ 100. Nó rất hào hứng và kể tôi nghe mọi thứ mà nó biết về số 100, bao gồm, 100 là một số chẵn. Sau đó nó cũng nói với tôi rằng 101 là một số lẻ và một triệu lại là một số chẵn,... Cuối cùng nó dừng lại và hỏi tôi “Vô cùng là số chẵn hay lẻ vậy mẹ?”
Tôi đã giải thích với cô ấy rằng vô cùng không phải là số chẵn, nó cũng không phải là số lẻ. Nó không phải là một con số theo lẽ tự nhiên và tất nhiên nó không tuân theo các quy luật số học thông thường. Một loạt mâu thuẫn sẽ nảy sinh nếu như vô cùng tuân theo các quy luật số thông thường. Ví dụ, nếu vô cùng là một số lẻ, gấp đôi nó lên ta sẽ được một số chẵn. Tuy nhiên gấp đôi của vô cùng lại vẫn là vô cùng. Điều này dẫn đến vô cùng, tự bản thân nó vừa là lẻ mà cũng vừa là chẵn, rất vô lý!
Kim đã trả lời rằng:
Cảm ơn anh. Ben đã thỏa mãn với câu trả lời đó và thích thú với ý tưởng vô cùng là một số đủ lớn để có thể vừa là chẵn và cũng vừa là lẻ.
Có một sự nhầm lẫn trong việc dịch câu trả lời của tôi (vô cùng không chẵn cũng không lẻ chứ không phải là cả hai - neither...nor, not both), tuy nhiên Ben vô tình đã đề cập đến một sự thật lớn hơn. Vô cùng có thể là một cái gì đó rất đặc biệt.
Một trong những khía cạnh lạ thường của số vô cùng này xuất hiện vào cuối những năm 1800, khi George Cantor làm việc với “lý thuyết tập hợp” (set theory). Cantor đã rất hứng thú với các tập vô hạn phần tử như tập hợp số tự nhiên (1, 2, 3, ...) hay tập hợp điểm trên một đường thẳng. Ông ấy đã định nghĩa theo một cách chặt chẽ sự khác nhau giữa các tập vô hạn và khám phá ra một điều đáng kinh ngạc: có những tập vô hạn phần tử lớn hơn những tập vô hạn phần tử khác.
Vào thời điểm đó, lý thuyết của Cantor đã gây ra không chỉ sự phản kháng mà cả sự xúc phạm. Henri Poincaré, một trong những nhà toán học hàng đầu thời đó đã gọi lý thuyết này là “một căn bệnh”. Nhưng một tượng đài khổng lồ khác, David Hilbert, lại xem đây là một đóng góp bền vững và khẳng định “Không ai có thể trục xuất chúng ta khỏi thiên đường mà Cantor đã tạo ra.”
Mục đích của tôi là giúp bạn có một cái nhìn thoáng qua về thiên đường này. Nhưng thay vì làm việc trực tiếp với những tập hợp số hay điểm, tôi chọn cách tiếp cận được giới thiệu bởi chính Hilbert. Ông đã truyền tải một cách rất sống động lý thuyết của Cantor bằng việc kể câu chuyện về một khách sạn cực kỳ lớn mà ngày nay được biết đến với tên gọi Khách sạn Hilbert.
Khách sạn này rất đặc biệt - nó lúc nào cũng hết phòng nhưng luôn còn một chỗ trống.
Khác sạn Hilbert không có 100 phòng hay một con số cụ thể phòng nào khác, nó có vô cùng phòng. Mỗi khi có một khách tới thuê, người quản lý khách sạn sẽ tiến hành chuyển phòng cho tất cả các khách đang thuê theo quy tắc: người ở phòng 1 sang phòng 2, phòng 2 sang phòng 3, phòng 3 sang phòng 4 và cứ thế... Do đó ta sẽ được trống phòng 1 để cho người khách mới tới kia thuê. Tất nhiên ta đang bỏ qua sự khó chịu và khó khăn của việc chuyển phòng.
Bây giờ giả sự có vô hạn khách mới đến thuê. Không sao, người quản lý khách sạn luôn có cách của ông. Ông mời khách ở phòng 1 sang phòng 2, khách ở phòng 2 sang phòng 4, phòng 3 sang phòng 6,... Khách ở phòng nào thì sang phòng với số phòng gấp đôi phòng mình đang ở. Điều này đảm bảo tất cả các phòng lẻ của khác sạn đều còn trống. Mà ta đã biết, có vô hạn số phòng lẻ và sẽ đủ chỗ cho vô hạn khách mới đến này.
Vào cuối ngày hôm ấy, một đoàn vô hạn chiếc xe bus đi đến trước cửa khác sạn. Mỗi chiếc bus lại chứa vô hạn hành khách. Tất cả họ đều yêu cầu được ở trong khách sạn Hilbert.
Người quản lý đã có đủ kinh nghiệm để đối phó với tình huống này và anh ấy làm lại cùng một cách với lượt khác trước đó.
Đầu tiên anh ấy dùng cách di chuyển gấp đôi phòng để chừa ra vô hạn số phòng lẻ. Liệu đã đủ chưa? Có vẻ không chắc lắm. Lý do là bởi ta đang có một đội hình xếp theo kiểu hình vuông vô cùng nhân vô cùng (số cột là số bus - vô hạn, số hàng là số người mỗi bus - cũng lại vô hạn).
Điều này dẫn tới việc logic của số vô cùng dần trở nên kỳ lạ và khó hiểu.
Để có thể hiểu được làm cách nào mà người quản lý có thể giải được vấn đề hóc búa cuối ngày này. Ta hãy minh họa tất cả các khách mới tới mà ông ta phải tiếp đón.
Thách thức của người quản lý là tìm được cách để sắp xếp lượng người khổng lồ này vào trong khách sạn (cụ thể hơn là vào trong vô hạn số phòng lẻ mà ông ta đã chừa ra được). Ông ấy cần chỉ ra một cách thức sao cho sau một số hữu hạn khách đã được xếp phòng thì người tiếp theo sẽ đảm bảo được xếp và hơn hết phải đảm bảo tất cả các khách đều được phục vụ.
Buồn thay, vị quản lý này, sau khi áp dụng cách thức cũ của ông, chỉ có thể xếp được vô hạn khách ở bus 1 (hàng 1) vào trong vô hạn phòng lẻ đã chừa ra. Xem hình minh họa bên dưới. Tất cả các khách khác đều không có phòng và đang la ó inh ỏi.
Vị quản lý này bị sa thải và một người mới được thuê về giải quyết vấn đề này. Cách mà vị quản lý mới này đưa ra là xếp các khách theo đường zig-zag như hình dưới đây.
Từ cách thức của vị quản lý này, bằng hình ở trên, ta có thể dễ dàng thấy rằng tất cả các khách sẽ được xếp phòng. Vì sao?
- Khách 1-1 (ở hàng 1, cột 1) vào phòng 1
- Khách 1-2 vào phòng 3
- 2-1 → phòng 5
- 3-1 → 7
- 2-2 → 9
- ...
Số phòng sau dấu “→” sẽ đảm bảo là các phòng lẻ đang còn trống trong khi số khách trước dấu “⇒” đảm bảo đầy đủ các khách trong các xe bus.
Vậy là, như đã quảng cáo, luôn còn phòng trống trong khách sạn Hilbert.
Lập luận trên cũng được dùng để chứng minh rằng số hữu tỷ là đếm được (xem thêm Thế nào là đếm được trong Toán học? Tập số hữu tỷ có đếm được không? ). Và nó được miêu tả trong lý thuyết về các tập vô hạn của Cantor. Bằng cách đó, ông chỉ ra rằng có sự tương ứng giữa các số hữu tỷ dương (dạng p/q) với các số tự nhiên (). Đây cũng là cách để chứng minh một tập nào đó là đếm được hay không.
Hệ thống sắp xếp như trên hoàn toàn đi ngược lại với cảm nhận thông thường. Đây là điểm mà Poincaré đã phản pháo lại lý thuyết của Cantor. Bởi vì sao? Ví có vẻ như ta có thể liệt kê ra một danh sách các số hữu tỷ dương dù rằng chả biết được số hữu tỷ dương nào là nhỏ nhất.
Và xin thưa, danh sách như thế tồn tại! Theo cách mà vị quản lý khách sạn số 2 đã chỉ ra ở trên. Bằng cách nào? Bằng cách cho tương ứng cặp p/q này cũng là cặp bus/người-trên-từng-bus với số tự nhiên chính là số phòng trống.
Cantor cũng chỉ ra dựa trên đó rằng có những tập hợp vô hạn có nhiều phần tử hơn một tập vô hạn khác. Đặc biệt hơn, tập số thực giữa 0 và 1 là không thể đếm được. Hay nói khác đi, ta không thể tìm được cách sắp xếp nào khả dĩ cho các số thực trong khoảng này để có thể đếm được chúng. Nói một cách dễ hình dung hơn. Nếu có một lượng người bằng với lượng số thực trong khoảng 0 và 1 đến trước khách sạn Hilbert, sẽ không còn đủ chỗ cho họ nữa!
Vì sao? Vì ta sẽ dùng phản chứng để thấy điều này.
Giả sử rằng mỗi số thực (trong khoảng 0 và 1) có thể được trao cho một phòng trống trong khách sạn. Điều đó có nghĩa là mỗi số thực này (được viết rõ ràng dưới dạng thập phân) sẽ nhận một phòng được đánh số là một số thực, dạng:
- Phòng 1: 0.6312321...
- Phòng 2: 0.1343545...
- Phòng 3: 0.943545123...
- Phòng 4: 0.621350213...
- ....
Nhớ rằng, chúng ta đang giả sử ở trên là một danh sách đầy đủ số phòng và số khách hàng. Mỗi khách hàng thực giữa 0 và 1 đều sẽ xuất hiện đâu đó trong danh sách trên.
Cantor đã chứng minh rằng, rất nhiều khách hàng đã bị bỏ quên trong danh sách trên. Ví dụ, ta sẽ lấy các số theo đường chéo kể từ số ở phòng đầu tiên (số in đậm dưới đây)
- Phòng 1: 0.6312321...
- Phòng 2: 0.1343545...
- Phòng 3: 0.945545123...
- Phòng 4: 0.621150213...
- ....
để được người mang số 0.6351....
Tuy nhiên, vẫn chưa dừng lại đó, ta tiếp tục đổi tất cả các các chữ số sau dấu “.” bằng một số mới nằm trong khoảng 1 và 8 và khác số đã cho. Ví dụ 6 đổi thành 3, 3 đổi thành 2, 5 đổi thành 8, 1 đổi thành 4 và vân vân...
Số mới này (0.3284....) là một tên sát nhân. Bởi vì hắn không thể ở trong phòng 1 được vì nó có số đầu tiên sau dấu chấm khác với số đầu tiên sau dấu chấm của người ở phòng 1 (3 khác 6). Nó cũng không thể ở trong phòng 2 vì số thứ 2 của nó cũng khác,....Cứ thế, nó không thể ở trong bất kỳ phòng nào được (giả dụ phòng thứ n) vì theo cách đổi chữ số ở trên, số thứ n của nó cũng không trùng khớp với số thứ n của người trong phòng số n.
Kết luận lại, khách sạn Hilbert không còn đủ phòng nữa với lượng khách hàng là số thực trong khoảng 0 và 1. Một số vô cực vượt khỏi vô cực.
Math2IT dịch từ bài viết của Steven Strogatz. Hình minh họa từ video: https://goo.gl/5WwHgJ và từ chính bài viết gốc.
