Máy tính có thể rất hữu dụng trong việc hỗ trợ con người giải các vấn đề toán học (như giúp tính nhanh hơn, tính nhiều hơn,...) nhưng liệu việc tự bản thân chúng có thể giải và chứng minh các vấn đề toán học có khả thi hay không? Thực tế đã chỉ ra là có thể nhưng ta cần xem xét phạm vi mà máy móc có thể thay thế con người là đến đâu trong thế giới toán học vô cùng phức tạp này.
Đầu tiên phải kể đến thành quả đã đạt được cách đây gần 40 năm. Đó chính là máy vi tính có thể chứng minh được định lý bốn màu nổi tiếng. Định lý này khẳng định rằng ta có thể tô các vùng phân biệt của bất kỳ bản đồ nào với chỉ 4 màu khác nhau để làm sao cho không có hai vùng kề nhau nào có cùng màu.
Định lý này lần đầu tiên được chứng minh bằng máy tính là vào năm 1976, mặc dù sau đó bị phát hiện là có lỗi. Mãi đến năm 1995 thì phiên bản chính xác của chứng minh mới được cập nhật.
Năm 2003, Thomas Hales đến từ trường đại học Pittsburgh, đã cho xuất bản bài báo nói về một chứng minh số hóa cho phỏng đoán Kepler. Phỏng đoán này nói về việc sắp xếp các khối cầu trong không gian Eulclidean 3 chiều, tương tự như việc sắp một số trái cam cùng kích thước vào một cái sọt cho trước. Yêu cầu đặt ra là làm sao sắp được càng nhiều quả cam càng tốt, hay nói tổng quát hơn, với cùng một không gian cho sẵn, làm sao sắp được càng nhiều quả cầu cùng kích thước vào không gian ấy càng nhiều càng tốt.
Với những quả cầu cùng đường kính, nếu ta xem thể tích của chúng chia cho thể tích của không gian chứa là mật độ chiếm chỗ của các quả cầu thì cách xếp tối ưu nhất có thể tìm ra là mật độ bằng 74% trong khi nếu ta xếp một cách ngẫu nhiên thì đạt được khoảng 64%. Bạn có thể tham khảo thêm ở đây.
Dù Hales đã công bố chứng minh vào năm 2003 nhưng nhiều nhà toán học vẫn chưa thật sự hài lòng bởi vì chứng minh ấy đi cùng với gần 2 Gigabytes kết quả đầu ra, một con số quá lớn vào thời điểm ấy, và một số tính toán trong đó khó có thể được kiểm chứng. Để đáp trả lại, Hales lần nữa xuất bản một chứng minh tốt hơn vào năm 2014.
Kết quả gần đây nhất của việc dùng máy tính chứng minh các vấn đề toán học là bài báo vừa được đăng trên Nature (5/2016) về chứng minh số hóa của Bài toán logic về bộ ba số Pythagore (the Boolean Pythagorean triples problem).
Bộ ba số Pythagores là bộ ba số nguyên dương thỏa mãn phỏng theo định lý cùng tên của nhà toán học Hy Lạp lỗi lạc vốn đã quá nổi tiếng ở trường phổ thông. Khi ấy bài toán logic về bộ ba này chính là câu hỏi rằng ta có thể tô màu cho mỗi số nguyên dương với chỉ hai màu đỏ và xanh sao cho không có bất kỳ một bộ ba nào có chứa ba số cùng một màu. Ví dụ bộ ba nếu đã được tô màu xanh thì 4 phải được tô màu đỏ.
Khẳng định ở đây chính là với các số nguyên từ 1 đến 7824, ta có thể tô màu theo quy ước ở trên với khá nhiều cách khác nhau nhưng khi mở rộng ra thêm một tí, tức nếu xét các số từ 1 đến 7825 thì việc này là không thể!
Thậm chí cho những số nguyên tương đối nhỏ, việc tìm ra một cách tô màu thỏa mãn điều kiện trên cũng không hề dễ dàng. Ví dụ như với bộ ba số , nếu được tô màu đỏ thì một trong phải được tô màu xanh (vì ) và một trong cũng phải được tô màu xanh tương tự (vì . Mỗi lựa chọn đều có quá nhiều ràng buộc kèm theo.
Khi xét các số từ 1 đến 7825 thì số cách mà ta có thể tô màu (không cần phải thỏa điều kiện bài toán ở trên) lên đến hàng gigantic (nhiều hơn trường hợp), con số này theo sao bởi con số 0. Số trường hợp này lớn đến nỗi nếu đem xem xét với số lượng hạt cơ bản trong vũ trụ (tầm ) thì nó vẫn còn nhiều hơn rất rất là nhiều. Điều đó cho thấy rằng nếu dùng máy tính để xem xét hết tất cả các trường hợp đó để xem có trường hợp nào thỏa yêu cầu bài toán logic bộ ba số Pythagore hay không là gần như không thể.
Những số từ 1 đến 7824 có thể được tô màu hoặc xanh hoặc đỏ để không có bất kỳ bộ ba Pythagore nào có cùng màu. Màu trắng trogn hình có thể là xanh hay đỏ đều được.
May mắn thay, các nhà nghiên cứu đã có thể thu hẹp số lượng các trường hợp này lại "chỉ còn" khoảng một tỉ trường hợp (trillion). Phương pháp mà họ đã dùng là ứng dụng các thành tựu của đối xứng và lý thuyết số. Từ đó, việc dùng máy tính để xem xét các trường hợp là khả thi. Các nhà khoa học đã sử dụng chiếc siêu máy tính Stampede của đại học Texas (với 800 bộ vi xử lý - processors) để chạy hết các trường hợp này trong vòng 2 ngày liên tục. Và kết quả là không thể tổ màu thỏa điều kiện của bài toán logic bộ 3 số Pythagore.
Trong khi ứng dụng thực tế của kết quả trên là không có gì thì việc cho thấy khả năng có thể giải được một bài toán tô màu phức tạp như vậy là giới hạn của các vấn đề về mã hóa và an ninh.
Chiếc siêu máy tính ở Texas được đánh giá là đã thực hiện khoảng các phép toán số học. Tuy nhiên con số này vẫn chưa phải là con số lớn nhất đã được một chiếc máy tính thực hiện. Vào năm 2013, tôi (GS. Jonanthan Borwein - người dịch) và các đồng sự đã tiến hành đếm số các chữ số của cũng bằng máy tính và số lượng tính toán thì gấp đôi con số mà siêu máy tính ở Texas đã thực hiện.
The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), một hệ thống máy tính kết nối toàn cầu cho việc tìm số chữ số sau dấu phẩy của số lớn nhất có thể, đã thực hiện đều đặn tổng cộng khoảng 450 tỉ phép tính mỗi giây. Với tốc độ này, chỉ cần 6 giờ đồng hộ là có thể vượt qua số lượng tính toán của siêu máy tính ở Texas.
Kết quả thu được trong tính toán của siêu máy tính Texas có thể chiếm tới 200 terabytes, tương đương bytes, một con số cực khủng! Vậy thì làm sao con người chúng ta có thể kiểm chứng độ chính xác của một kết quả quá lớn về mặt kích thước như vậy? Thật sự may mắn, một giải pháp được đưa ra (minh họa bởi hình ở trên), với giải pháp này, ta có thể dùng các cách đơn giản hơn để kiểm tra.
Ý tưởng của việc kiểm tra "chia nhỏ" này cũng giống như việc phân tích một số cực lớn nào đấy thành hai nhân tử nhỏ hơn là sao cho vậy. Thật không đơn giản để tìm , biết là thế, nhưng khi đã tìm được thì mọi việc sẽ thật đơn giản hơn nhiều.
Vậy các kết quả trên nói lên điều gì? Có phải lại một lần nữa công nghệ và máy tính sẽ thay thế con người trong việc làm toán như là chúng đã từng đánh bại và thay thế loài người trong việc chơi cờ, lái taxi, lái xe tải, gameshow truyền hình, chẩn đoán bệnh qua các hình X quang,... hay không?
Không hẳn thế! Các nhà toán học, cũng như các chuyên gia trong nhiều lĩnh vực khác, đã ngầm thừa nhận khoa học tính toán của máy tính là một dạng nghiên cứu mới của toán học, một bước phát triển mới được biết đến dưới cái tên toán học thực nghiệm vốn cũng có những ảnh hưởng sâu rộng đến các quá trình nghiên cứu khác.
Vậy toán học thực nghiệm chính xác là gì? Định nghĩa phù hợp nhất thì toán học thực nghiệm có lẽ là một dạng nghiên cứu đi "thuê" các máy tính như là các "phòng thí nghiệm". Nó cũng giống như các nhà vật lý, hóa học, sinh học sử dụng phòng thí nghiệm chuyên biệt cho công việc của họ vậy. Trong trường hợp này thì các nhà toán học sẽ "mượn" máy tính để có thể có được những cái nhìn sâu sắc hơn, trực quan hơn về một khía cạnh nào đó, hoặc cũng có thể kiểm chứng một kết quả nào đó là đúng hoặc sai.
Theo một nghĩa nào đó thì cũng không có gì mới trong phương pháp thực nghiệm của nghiên cứu toán học. Vào thế kỷ thứ III trước công nguyên, nhà toán học vĩ đại người Hy Lạp Archimedes đã viết
Thật dễ dàng để đưa ra một chứng minh khi đã có những kết quả trước đó để mà dựa vào, bằng phương pháp thực nghiệm, một vài kiến thức của vấn đề cần tìm thậm chí không có bất kỳ kiến thức liên quan nào trước đó.
Galileo thì cho rằng
Tất cả sự thật đều dễ dàng được hiểu khi chúng được tìm ra, vấn đề chính là ở chỗ tìm ra chúng.
Carl Friederich Gauss, nhà vật lý học và toán học thế kỷ XIX thường xuyên dùng những kỹ thuật tính toán để thúc đẩy các khám phá phi thường của ông. Ông viết
Tôi có được kết quả nhưng tôi vẫn chưa biết được làm cách nào để có (chứng minh) chúng.
Toán học thực nghiệm dựa trên máy tính chắc chắn cũng phát triển đi đôi với những thành tựu công nghệ phục vụ cho nó. Cùng với thời gian, phần cứng máy tính theo định luật Moore sẽ ngày càng mạnh mẽ hơn. Định luật này nói rằng số lượng các transistor trên mỗi đơn vị inch vuông sẽ tăng lên gấp đôi sau mỗi 18 tháng. Điều này cũng cho thấy các máy tính sẽ ngày càng mạnh mẽ hơn sau mỗi chu kỳ thời gian và khi ấy các phần mềm tính toán như Maple, Matlab, Mathematica hay Sage cũng sẽ ngày càng trở nên lợi hại hơn.
Hệ thống máy tính hiện tại hầu như đủ mạnh để giải tất cả các phương trình, đạo hàm, tích phân hoặc bất kỳ phương thức tính toán nào trong toán học phổ thông.
Vì thế trong khi những chứng minh dựa trên trí tuệ con người vẫn còn rất cần thiết thì máy tính sẽ dẫn đầu trong cách hỗ trợ các nhà toán học định hình các định lý mới và vạch ra lộ trình đi đến những chứng minh chính quy hơn.
Hơn thế nữa, có thể có người sẽ nói rằng trong nhiều trường hợp thì tính toán máy tính còn hấp dẫn hơn những chứng minh của con người vì những chứng minh này, suy cho cùng, dễ gặp những lỗi lầm, hiểu sai hoặc cả tin dựa vào những kết quả trước đó vốn cũng có thể bị hiểu lầm, hiểu sai hoặc chưa được kiểm chứng. Ví dụ điển hình cho trường hợp này là trường hợp của giáo sư Andrew Wiles. Chứng minh đầu tiên ông công bố cho định lý cuối cùng của Fermat bị phát hiện có lỗi và phải tận vài năm sau đó nó mới được sửa lại cho chính xác.
Theo xu hướng này, gần đây, Alexander Yee và Shigeru Kondo đã tìm được 12.1 tỷ chữ số sau dấu phẩy của số . Để làm được điều này, đầu tiên họ tìm khoảng hơn 10 tỷ chữ số dựa trên hệ cơ số 16, sau đó họ kiểm tra tính toán của mình bằng cách tính toán các nhóm chữ số hệ 16 gần kết quả cuối cùng nhất bằng những thuật toán hoàn toàn khác nhau và sau đó họ so sánh các kết quả đó. Cuối cùng họ nhận được sự tương đồng hoàn hảo ở những kết quả này.
Vậy cuối cùng thì cái nào đáng tin cậy hơn? Một chứng minh dài mấy trăm trang của bộ óc con người vốn chỉ được vài nhà toán học có đủ khả năng đọc và kiểm định tính chính xác hay là những kết quả giống như của Yee-Kondo dựa hoàn toàn vào sự giúp sức của máy tính? Hãy thực tế, tính toán máy tính trong nhiều trường hợp sẽ đáng tin hơn!
Mọi dấu hiệu điều cho thấy các nhà nghiên cứu toán học sẽ tiếp tục hợp tác với máy tính trong tương lai gần. Bởi vì nhờ có sự giúp sức của công nghệ máy tính, các nhà làm toán có thể thoải mái đưa cho máy tính đảm nhiệm một phần nào đấy trong chứng minh của mình mà không cần tốn quá nhiều thời gian và công sức làm bằng tay những công việc ấy.
Vấn đề này là một câu hỏi được thảo luận nhiệt tình trong hội thảo tranh luận được tổ chức bởi 5 người nhận được giải thưởng đột phá trong toán học. Nhà toán học Terence Tao đã nhấn mạnh sự nhất trí của họ sau cuộc thảo luận như sau
Máy tính chắc chắn sẽ ngày càng mạnh mẽ hơn trong tương lai nhưng tôi hy vọng rằng các nhà toán học sẽ tiếp tục hoàn thiện mình để có thể làm việc song song cùng máy tính!
À ha, vậy đừng vội quẳng đi quyển sách toán mà bạn đang có, bạn vẫn cần nó đấy!
Bài viết được Math2IT trích dịch, biên soạn và có viết thêm một số ý dựa trên bài viết của GS. Jonathan Borwein và TS. David H. Balley. Hình ảnh đa phần cũng lấy từ bài viết gốc.
