Mỗi khi tôi nói với mọi người tôi là một người nghiên cứu toán học thì thỉnh thoảng bắt gặp vài thái độ chán chường về cái nghề của tôi. Họ sẽ chuyển chủ đề trò chuyện sang những cái khác với chủ đề nghề nghiệp vì nó có toán học trong đó. Nếu có ai đó hỏi tiếp về nghề của tôi, đó thường cũng chỉ là những câu hỏi chung chung về hướng nghiên cứu hay số tiền mà tôi nhận được trong mỗi đề tài nghiên cứu của mình. Rất hiếm khi chúng tôi bàn sâu về toán học trong các cuộc trò chuyện.
Điều ấy là sự thật, Toán học hiếm khi là một chủ đề nóng bỏng trong các cuộc trò chuyện và đa phần mọi người không nghĩ rằng nó lại có thể chiếm một vị trí quan trọng trong các đột phá nghiên cứu (công nghệ, y học, kinh tế,...). Nếu có nghĩ đến thì người ta cũng chỉ nghĩ rằng chẳng còn gì để tìm tòi trong thế giới Toán học khô khan và vô vị đó cả. Thành kiến này đến từ việc chúng ta quá quen thuộc với kiến thức Toán học được dạy ở trường phổ thông. Mà các kiến thức này lại gần như không nói lên được (dù chỉ một tí) bản chất thật sự của sức mạnh Toán học cũng như những điều mà các nhà Toán học đang thực sự làm việc cùng. Tại trường phổ thông, chúng ta học về các công thức, các công thức này sau đó sẽ được sử dụng trong những vấn đề cụ thể phát sinh trong đời sống hàng ngày và vẫn ở những dạng rất đơn giản, không đòi hỏi những kiến thức Toán học quá cao xa.
Nghiên cứu Toán, theo nghĩa hoàn toàn khác, đó là việc xem xét trong hàng tỷ tỷ vấn đề vốn dĩ chưa hề biết được một phương pháp giải cụ thể nào. Nó nói về việc tìm kiếm những công cụ và hệ thống mà các lĩnh vực nghiên cứu khác cảm thấy hữu dụng để họ có thể dựa vào và phát triển theo hướng nghiên cứu của riêng họ. Và thỉnh thoảng, các nhà Toán học làm việc trên các con số tưởng chừng như vô dụng, nhạt nhẽo ở hiện tại nhưng lại trở nên vĩ đại ở thế giới tương lai.
Bất kỳ phương pháp Toán học nào được sử dụng ở trường phổ thông (hay ở công sở hoặc bất kỳ nơi đâu) đều được tìm ra bởi một nhà Toán học nào đó. Rồi một nhà Toán học khác sẽ tìm cách chứng minh rằng các phương pháp ấy là luôn đúng trong mọi trường hợp. Một người khác nữa thì suy nghĩ cách làm sao ứng dụng chúng vào thực tiễn cuộc sống. Hoặc một số khác nghĩ rằng đó chưa phải là cách tối ưu nhất và tìm cách phát triển một phương pháp khác hiệu quả hơn,... Hay nói ngắn gọn, không như mọi người vẫn nghĩ, Toán học vẫn còn rất bí hiểm và cần được khám phá hoặc có rất nhiều khía cạnh để một nhà Toán học làm việc trên đó.
Phương pháp có thể được dựa vào những đặc tính của hệ thống số vốn dĩ được nghiên cứu và khám phá trong một giai đoạn rất lâu. Trước đó có thể chúng chỉ là những luận điểm rời rạc tuy cũng quan trọng nhưng chưa thể hiện được nhiều sức ảnh hưởng. Sau một thời gian tương đối dài, các phương pháp ấy dần phát huy tác dụng và thể hiện được sức mạnh của mình.
Những nhà nghiên cứu Toán học cơ bản vẫn đang làm việc trên những kết quả tương tự như những cái đã được khám phá ra ngày nay. Họ chỉ đơn thuần chuyển dời sang những câu hỏi khác mang tính quan trọng và gắn liền với thực tiễn hơn, hay sang những phương pháp mới hơn cho những câu hỏi đã cũ, hoặc đặt ra các câu hỏi nâng cao hơn.
Dưới đây là một ví dụ về một kết quả gần đây. Nó nói về sự phân bố của các số nguyên tố (như 7, 11, 23 hay 37), các số này không thể chia nhỏ hơn nữa bởi một số tự nhiên lớn hơn 1 hoặc chính nó. Chúng ta đã tìm được những số nguyên tố có nhiều hơn 22 triệu chữ số và các nhà nghiên cứu vẫn đang tiếp tục tìm kiếm các số nguyên tố lớn hơn nữa.
Nếu bạn nhìn vào bảng các con số, các số nguyên tố dường như được sắp xếp một cách lộn xộn và ngẫu nhiên giữa những số không là số nguyên tố. Với một thời gian rất dài, chúng ta đã có thể miêu tả được những đặc tính cơ bản của các số nguyên tố. Từ đó thấy rằng, các số nguyên tố xuất hiện với một tần số chậm rãi nhưng ổn định ít thường xuyên hơn - nghĩa là chúng ngày càng "mỏng hơn" trong mối tương quan giữa các số không nguyên tố. Bạn có thể hình dung, kể từ số 1, lúc đầu nhóm các số nguyên tố đứng khá đông khi xét giữa những số bình thường, càng về sau (số càng lớn) thì nhóm các số nguyên tố càng ít thành viên hơn, thưa thớt hơn, mỏng hơn,... May mắn thay, chúng ta có thể định lượng một cách chính xác sự phân bố này, quả là điều diệu kỳ!
Với những số nguyên tố trung bình ngày càng cách xa nhau khi ta xét tổng thể ngày càng lớn các con số, thì một câu hỏi điển hình nảy sinh dành cho các nhà toán học: Liệu rằng quá trình "làm mỏng" các số nguyên tố đó có kéo theo cả sự "giãn nở" khoảng cách giữa các số nguyên tố hay không? Nói cách khác, liệu tất cả các số nguyên tố càng lớn cũng sẽ dẫn đến khoảng cách giữa chúng cũng lớn theo hay chúng ta luôn có thể tìm được một số nguyên tố gần với chúng?
Một đột phá năm 2014 chỉ ra rằng không quan trọng ta đang xét số lớn bao nhiêu, ta đều có thể tìm được hai số nguyên tố nằm "gần nhau" trong một khoảng nhất định. Khoảng ấy lần đầu tiên được tìm ra là khoảng 70 triệu. Con số này có vẻ không quá gần nhưng cũng đủ để cho chúng ta tự hào rằng ít ra ta có thể tìm được một con số cụ thể để các số nguyên tố luôn "gần nhau" trong khoảng ấy. Kể từ đó, các nhà toán học cố gắng giảm con số 70 triệu này xuống và đến bây giờ nó chỉ còn là 246 mà thôi.
Bạn sẽ tự hỏi làm cách nào mà việc giải các vấn đề toán học trừu tượng như trên lại có thể giúp ích gì cho thế giới bên ngoài? Đầu tiên phải kể đến hiệu ứng dây chuyền. Một kết quả cơ bản trong toán học rất hữu dụng trong việc đạt được những kết quả toán học thuần túy khác. Các kết quả toán thuần túy này sau đó sẽ được sử dụng để phát triển toán học ứng dụng và thứ toán học ứng dụng này mới chính là cái được dùng bởi những người không học toán. Thứ hai và cũng là thứ quan trọng nhất cần nói đến, đó chính là lý thuyết toán học luôn đi trước thời đại. Một kết quả không mấy ý nghĩa của toán học ngày hôm qua có thể là một đột phá của ngày hôm nay!
Ví dụ, lý thuyết số là lĩnh vực chuyên nghiên cứu những con số như các số nguyên tố đã nêu ở trên. Trong rất nhiều năm, lĩnh vực này bị xem như là chủ đề toán học nặng tính thuần túy lý thuyết và hoàn toàn vô dụng với cuộc sống thực tiễn, nó gần như chỉ thỏa mãn nhu cầu tò mò của con người. Ngày nay, các kết quả lý thuyết số được xem như là trái tim của các thuật toán mã hóa bảo vệ chúng ta khi chúng ta mua hàng online hoặc đăng nhập vào tài khoản ngân hàng. Trong quá khứ, lĩnh vực này được dùng trong thế chiến thứ hai giúp mã hóa thông tin khỏi kẻ thù.
Mỗi khi một đột phá công nghệ khoa học mới đòi hỏi một mô hình toán học phù hợp, rất có khả năng rằng chủ đề đó đã được các nhà lý thuyết đào bới từ lâu và chỉ còn chờ được khám phá cách dùng trong thực tế.
Đằng sau tất cả những điều này là một trong những chân lý cơ bản về nghiên cứu toán học. Các ứng dụng của toán học có thể thay đổi cùng với các tiến bộ khoa học, làm cho các chủ đề toán trở nên hữu dụng hơn so với các kết quả được tìm thấy trong quá khứ. Nhưng cũng nên nhớ rằng, các công trình toán học dựa trên những suy luận logic thuần túy nên chúng không bao giờ sai, cũng không bao giờ lỗi thời hay già đi, chúng chỉ nằm đó và chờ đợi được ứng dụng vào thực tiễn vào một ngày đẹp trời nào đấy trong tương lai.
Bài viết được Math2IT trích dịch (không sát nghĩa) bài viết của giáo sư Wolfram Benz. Ông là chủ nhiệm nghiên cứu Toán học tại trường ĐH Hull, Anh Quốc.
