Phép nhân phức là một phép toán rất quan trọng và có nhiều ứng dụng trong giải tích phức, kỹ thuật điện, cơ học lượng tử,… Trong giải tích phức, nó quan trọng để hiểu tính chất của các hàm phức như hàm giải tích, hàm phân hình,… Trong cơ lượng tử, phép nhân phức cần thiết trong việc xử lí các hàm sóng và hiểu các toán tử lượng tử. Chúng ta sẽ xem xét nó dưới nhiều góc nhìn khác nhau (bao gồm đại số và hình học).
Đầu tiên, hãy nhìn vào hình minh hoạ: Phép quay xung quanh gốc của một vector.
Trong đó, là căn bậc hai của , là một “số” trong một chiều khác, và phép quay trong hình trên cho ta một phép nhân của hai số phức.
Bây giờ chúng ta sẽ cùng tìm hiểu tại sao phép nhân hai số phức lại liên quan đến phép quay. Cùng xem tiếp hình sau:
Trong hình trên, ta đang nhân số phức với số phức . Có thể dễ dàng tính được kết quả của phép nhân là . Hãy nhìn vào góc của vecto mới , bạn có thể thấy góc của nó chính là góc của vecto cộng với góc của vecto (45°).
Điều này thật thú vị, vì nó cho chúng ta thấy phép nhân các số phức sẽ tương tự như phép quay (Khi bạn thay đổi góc, bạn đang thực hiện một phép quay). Để rõ hơn, chúng ta hãy cùng đọc tiếp.
Đây là một giải thích thường thấy tại sao phép nhân phức lại cộng các góc. Đầu tiên, hãy viết các số phức dưới dạng tọa độ (bán kính & góc):
Trong đó: là độ dài (modun); là góc quay.
Tiếp theo, thực hiện phép nhân và nhóm các phần ảo, phần thực lại với nhau:
Cuối cùng, hãy xem mối liên hệ với công thức cộng góc của và sau:
Chúng ta đã có được đáp án!
Chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một cách giải thích thú vị hơn về quá trình thực hiện phép nhân phức và tính chất cộng góc của nó.
Đầu tiên, hãy hình dung phép phân làm gì:
- Phép nhân thông thường (”nhân 2”) làm thay đổi tỉ lệ một số (trở nên lớn hơn hoặc nhỏ hơn)
- Phép nhân ảo (“nhân ”) làm quay một góc 90 độ
Và nếu chúng ta kết hợp các hệ quả trên trong cùng một số phức thì sao? Nhân với () đồng nghĩa với việc “gấp đôi số của bạn — oh, và thêm vào một phép quay 90 độ”.
Ví dụ:
Nghĩa là , lấy số ban đầu của ta là (4), tăng nó lên 3 lần (4*3) và sau đó thêm vào phép quay ().
Nhắc lại, nếu chúng ta chỉ muốn phép quay thì nhân nó với “”. Trong một vài tình huống bắt gặp số phức, ta thấy như một thành tố được nhân vào mà ta hay quen gọi một cách không có lợi là “đơn vị ảo”. Còn nếu chúng ta chỉ muốn thay đổi kích cỡ thì nhân với 3 (ví dụ vậy). Một số phức có cả hai hệ quả trên (phép quay và phép nhân).
Qua ví dụ ở trên, cho ta thấy việc nhân giữa một số thực và một số phức khá dễ. Còn đối với phép nhân hai số phức (“tam giác”) thì sao, ví dụ ?
Nhìn vào hình, bạn có thể thấy sự kết hợp của hai tam giác nhân bản của tam giác ban đầu (là tam giác biểu diễn ), một cái là gấp đôi còn một cái là nhân (gấp 3 lần và xoay 90 độ). Đi theo dấu mũi tên đến điểm kết thúc (chấm xanh), đó cũng chính là điểm phức biểu diễn kết quả của phép nhân hai số phức ban đầu.
Không chỉ vậy, còn có một cách giải thích khác mà mình thích. Đó là:
Không chỉ vậy, còn có một cách giải thích khác mà mình thích. Đó là:
Dựa vào trục thực và trục ảo, thay vì nhóm các phép nhân theo tam giác như trước, chúng ta sẽ phân tích mỗi thành phần của FOIL (viết tắt của first, outside, inside, last). Việc thêm từng thành phần như vậy sẽ tạo ra một đường đi (theo dấu mũi tên) và kết thúc ở cùng một vị trí (là điểm phức biểu diễn kết quả).
Nãy nhìn vào các góc. Có vẻ chúng ta cũng đang cộng các góc của hai tam giác biểu diễn, nhưng có thật là vậy không, hãy cùng xem tiếp.
Liệu kết quả được tạo ra (đường chấm nối màu xanh) có góc giống với góc được tạo ra lúc đầu khi mình ghép các hình tam giác vào nhau không?
Lúc đầu, chúng ta đã chồng tam giác lên tam giác để tạo ra một góc kết hợp (kí hiệu vòng tím). Đó cũng chính là góc quay của số phức biểu diễn kết quả.
Sau khi thực hiện phép nhân với , chúng ta có được một nhân bản (2x) và một nhân bản khác (nhân với ) của tam giác (). Chúng là hai tam giác đồng dạng và những tam giác đồng dạng sẽ có góc giống nhau.
Chúng ta đã tăng kích cỡ của tam giác ban đầu (không thay đổi góc) và ghép nó với một nhân bản khác (cũng không thay đổi góc), vì vậy kết quả sẽ giống nhau! (giải thích phía dưới). Chúng ta tăng kích cỡ, thực hiện phép quay, và chúng ta tạo ra được góc quay như lúc đầu. Đây là một cách giải thích thú vị, việc kết hợp các tam giác lại với nhau mà không cần lượng giác.
(Giải thích: Tam giác mới được tạo thành ở giữa sau khi ghép (có đường chấm xanh là cạnh huyền) có tỉ lệ cạnh góc vuông là 2/3 (hoặc 3/2) nên đồng dạng với tam giác biểu diễn cho số phức (). Khi đó, các góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau hay góc mới tạo thành (bởi đường chấm xanh) bằng góc quay lúc đầu)
Hãy chú ý cách chúng ta tạo ra những bản sao lớn hơn của tam giác ban đầu và kết hợp chúng lại với nhau. Có sự thay đổi về kích thước hay không?
Ta sẽ gọi độ dài ban đầu là “” (trên hình). Chúng ta luôn có được một tam giác mới được tạo thành với kích thước là ( nói chung). Từ Pythagoras ta suy ra khoảng cách thực sẽ là :
Nghĩa là chúng ta lấy độ dài ban đầu và nhân với kích thước của tam giác mới (modun của )
Nếu tam giác mới có kích thước là 1 () thì dễ thấy độ dài sẽ không thay đổi.
Mình không ghét những chứng minh rõ ràng, nhiều chi tiết — mình chỉ ghét khi phải giả vờ chúng hữu ích trong khi chúng không. Chứng minh thường có hai mục tiêu:
- Chứng minh rằng kết quả đúng. Đây là cách nhà toán học trình bày những kết quả — học sinh hiếm khi đặt câu hỏi và tò mò về tính chính xác của nó trong các lớp toán.
- Chứng minh tại sao kết quả lại đúng.
Một vấn đề sẽ được hiểu sâu sắc, thỏa đáng hơn khi ta thực hiện các phép so sánh, liên tưởng và xem xét những ví dụ — không phải chỉ đọc những chứng minh được tối giản, cô đọng (đặc biệt là những chứng minh có công thức cộng của ).
Polya đã nói: “Khi bạn thật sự thỏa mãn bản thân bạn rằng định lí này đúng, bạn có thể bắt đầu chứng minh nó”. Chúc các bạn học toán vui vẻ.
Tham khảo từ bài viết:
Understanding Why Complex Multiplication Works, https://betterexplained.com/articles/understanding-why-complex-multiplication-works/
