Lược sử hình thành khái niệm giới hạn trong Toán học

Lúc đầu tôi định để bài này chung với bài viết Hiểu về giới hạn, tuy nhiên thấy nó quá dài nên tôi quyết định viết thành một bài riêng. Mục tiêu là đi tìm động cơ hình thành ý tưởng và khái niệm về giới hạn mà chúng ta vẫn học và dùng ngày nay.

Ở đây tôi sẽ không đi vào phân tích lịch sử hình thành giới hạn mà chủ yếu mượn nó để nói đến động cơ của việc hình thành ý tưởng giới hạn mà thôi. Đối tượng độc giả tôi hướng tới là các bạn học sinh THPT, những người đang chưa biết gì về giới hạn và vẫn còn hoài nghi về giới hạn chứ không phải là những người đã biết về nó và kiểm chứng lại nó.

Nghịch lý Zeno

Đầu tiên phải kể đến nhà triết học người Hy Lạp Zeno xứ Elea (496/490-430/429TCN). Vào thế kỷ thứ 5 TCN, ông đưa ra rất nhiều nghịch lý mà chính ông cũng không thể giải thích nổi, người ta gọi chúng là những nghịch lý của vô hạn (Paradoxes of the infinite). Xem mục Zeno’s Paradox trong quyển sách lịch sử Toán học của David Burton¹. Điển hình trong số chúng là cuộc chạy đua giữa dũng sĩ Achilles và một con rùa.

Kể về nghịch lý Achilles và rùa.

Một ngày nọ, dũng sỹ Achilles tham gia một cuộc đua với một chú rùa. Chú rùa xuất phát ở một vị trí cách xa Achilles và cả hai cùng chạy trên một đường thẳng. Khi Achilles chạy được đến chỗ rùa thì rõ ràng rùa cũng đã chạy được một quãng nữa. Do tốc độ giữa rùa và Achilles chênh lệch nên khoảng cách giữa Achilles và rùa sẽ ngắn lại nhưng Achilles vẫn ở sau rùa. Tiếp tục, Achilles lại chạy đến chỗ mà rùa ở khi nãy tuy nhiên đồng thời với Achilles chạy, rùa cũng chạy được thêm một quãng nhỏ nữa, thế là Achilles lại tiếp tục ở phía sau rùa dù khoảng cách đã được rút ngắn hơn.

Cứ thế, Achilles chạy đến chỗ rùa thì rùa lại chạy xa thêm một tí, mãi mãi Achilles vẫn cứ ở sau rùa dù rằng khoảng cách có ngắn lại. Vậy hóa ra Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp rùa? Thực tế đã chứng minh điều đó là không thể và dẫn đến nghịch lý nổi tiếng Zeno.

Ông nào biết rằng hơn 1600 năm sau, ý tưởng về giới hạn ra đời và chính nó có thể giải thích được điều mà ông đã hằn trăn trở. Chúng ta sẽ quay lại giải thích nghịch lý này bằng giới hạn của dãy số sau nhé. Cơ sở của cách giải quyết nghịch lý Achilles và rùa chính là khoảng cách giữa Achilles và rùa ngày càng rút ngắn lại, khi số lần Achilles chạy đến địa điểm cũ của rùa tăng lên vô hạn lần thì cũng chính là lúc khoảng cách giữa Achilles và rùa tiến về 0 và Achilles có thể đuổi kịp rùa. (“Vô hạn” là gì nhỉ? OK, tôi sẽ viết bài khác nói về nó)

Một nghịch lý khác, cũng tương tự như nghịch lý Achilles và rùa chính là Nghịch lý mũi tên không trúng đích. Mũi têm muốn đến đích thì nó bắt buộc phải đi qua điểm giữa, rồi để đến được điểm giữa nó phải đi qua một điểm giữa khác và cứ thế… Thời gian mà mũi tên phải trải qua là dài vô tận.

Nghịch lý mũi tên không trúng đích

Zeno ví dụ một mũi tên được bắn ra và bay với vận tốc không đổi 1m/s để đến tấm bia cách vị trí xuất phát là 1m. Đầu tiên mũi tên sẽ đến vị trí ở giữa đầu tiên là $\frac{1}{2}$ với thời gian là $\frac{1}{2}$s. Từ vị trí $\frac{1}{2}$, mũi tên lại phải bay đến vị trí ở giữa tiếp theo là $\frac{1}{4}$ với thời gian là $\frac{1}{4}$s. Cứ thế, để đến được bia, mũi tên bắt buộc phải bay qua mọi vị trí ở giữa với thời gian tương ứng. Điều này có vẻ như mũi tên sẽ không bao giờ đến được đích vì thời gian có lẽ là dài vô tận ví dụ như dưới đây

$$
\text{Tong thoi gian} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \ldots
$$

Sai lầm của Zeno là ông đã cứ nghĩ rằng tổng của vô hạn các phần tử hữu hạn là một con số vô hạn. Tuy nhiên Aristotle và Archimedes đã chứng minh điều này là sai khi các ông đã tìm được giá trị cụ thể của tổng vô hạn này mà sau này ta học đó chính là tổng của một chuỗi vô hạn. Xem điều này ở mục Sum of series trong quyển sách lịch sử Toán học của Victor J. Katz².

Đại lượng vô cùng nhỏ

Ở cả hai nghịch lý của Zeno, vấn đề đều phát sinh từ việc lấy tổng của vô hạn các phần tử mà kích thước của các phần tử này lại trở nên nhỏ dần đến một lượng gọi là vô cùng nhỏ. Đây là một đại lượng có thể hiểu là nhỏ hơn bất cứ thứ gì trong thế giới này nhưng vẫn tồn tại. Trong thế giới các con số, nó là đại lượng nhỏ hơn bất cứ số dương nào có thể nhỏ được nhưng lại khác 0. Hơi trừu tượng nhỉ? Nếu bạn muốn biết rõ hơn về lịch sử hình thành đại lượng đặc biệt này, hãy đọc bài viết Lược sử về đại lượng vô cùng nhỏ(infinitesimal). Còn để hiểu một cách trực quan về nó, hãy đọc bài viết tiếp theo của tôi về Hiểu giới hạn.

Fermat đi tìm hệ số góc của tiếp tuyến

Trong chương trình phổ thông, chúng ta học về “đạo hàm” sau khi đã học về “giới hạn”³. Điều đó là vì trong sách thì đạo hàm được định nghĩa thông qua giới hạn. Tuy nhiên trong lịch sử hình thành của giới hạn lẫn đạo hàm thì đạo hàm lại xuất hiện trước cả giới hạn. Bạn sẽ thấy kỳ lạ ư? Tại sao đạo hàm dựa vào giới hạn mà lại xuất hiện trước được? Vâng, bởi vì khi người ta nghĩ tới đạo hàm, họ dùng một công cụ khác, đó chính là đại lượng vô cùng nhỏ. Người đầu tiên dùng cái này là nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat (1601-1665), khi ông cố gắng tìm ra hệ số góc của tiếp tuyến một hàm số $y=f(x)$ tại một điểm bất kỳ nằm trên đồ thị hàm số ấy. Điều thú vị là khi ông dùng nó, ông không ý thức được nó là gì, ông chỉ xem nó như là một công cụ giải quyết vấn đề mà thôi. Phương pháp ông đưa ra được gọi là Phương pháp bất bình đẳng Fermat (Fermat’s Method of Adequality). Xem mục Tangent and extrema (Tiếp tuyến và cực trị) trong sách lịch sử Toán học của Victor J. Katz để biết thêm.

Tôi đã nói rõ về kỹ thuật này của Fermat trong bài viết Tại sao tiếp tuyến đồ thị hàm số lại liên quan đến đạo hàm bậc nhất?, ở đây tôi sẽ nói lại ý tưởng chính.

Xem lý luận của Fermat

Giả sử hàm số của chúng ta là $y=f(x)=x^2$ và điểm cần xác định tiếp tuyến là $M_0(x_0,f(x_0))$. Fermat thấy rằng nếu ông lấy thêm một điểm $M_1(x_1,f(x_1))$ nữa ngoài điểm $x_0$ đang khảo sát, ông sẽ được một đường cát tuyến cắt đồ thị tại hai điểm này. Khi ông di chuyển $M_1$ trên đồ thị thì đường cát tuyến cũng sẽ thay đổi theo. Ông nhận xét rằng đường cát tuyến sẽ biến thành tiếp tuyến nếu như $M_1$ tiến về và trùng với điểm $M_0$. Hình học là vậy nhưng còn về mặt toán học thì làm sao?

Ông gọi khoảng cách giữa hai điểm là một lượng $e$ ($x_1-x_0=e$), ông xem lượng này là một lượng vô cùng nhỏ, nghĩa là nó nhỏ đến nỗi hai điểm có thể xem là trùng nhau nhưng lượng ấy không bị triệt tiêu ($e\ne 0$). Ông học hỏi ý tưởng về lượng $e$ này của Diophantus. Ông dùng nó để biến đổi hàm số để đến cuối cùng, ông chỉ việc bỏ tất cả các lượng có chứa nó vì ông xem nó nhỏ đến độ không tồn tại.

Khi ấy hệ số góc của tiếp tuyến chính là

$$
\begin{align*} hsg &= \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}\\ &= \dfrac{(x_0+e)^2-x_0^2}{e}\\ &= \dfrac{2x_0e+e^2}{e} = 2x_0+e = 2x_0. \end{align*}
$$

Sở dĩ ông xét lượng đó là vì trong công thức xác định hệ số góc tiếp tuyến, ông nhận ra có hiệu số $x_1-x_0$ ở dưới mẫu mà mẫu số không thể bằng $0$ được.

Phương pháp của Fermat dựa nhiều vào lượng vô cùng nhỏ (infinitesimal) nhưng thật ra nó có hơi hướng của việc ứng dụng giới hạn vào trong đó. Vẫn còn có sự tranh cãi về đại lượng vô cùng nhỏ này vì nó không thuộc vào hệ thống số mà các nhà toán học đã từng biết đến. Tuy nhiên phương pháp của Fermat là hợp lý và kết quả mà nó mang lại là đẹp và không sai, do đó ông vẫn rất tự tin vào nó khi nói rằng “Hiếm có phương pháp nào tổng quát hơn” nhưng thực ra ông đã lầm.

Xem nếu muốn biết tại sao kết quả của Fermat đúng

Tuy phương pháp của Fermat dựa nhiều vào đại lượng vô cùng bé nhưng các nhà khoa học thời đó cảm thấy “khó chịu” vì không thể định nghĩa một cách nghiêm ngặt về đại lượng $e$ như miêu tả của Fermat. Rõ ràng đại lượng này không nằm trong hệ thống các số thực vốn đã được biết và nó hoàn toàn đi ngược lại với tiên đề Archimede. Tiên đề này phát biểu là “Với mọi số thực $x$, luôn tồn tại số tự nhiên $N$ sao cho $Nx>1$”. Mãi sau này khi mà giới hạn ra đời một cách đầy đủ mới có thể giải quyết được sự khó chịu của các nhà Toán học thời Fermat, tuy nhiên vẫn có rất nhiều người ủng hộ ông, dẫn đến hai trường phái tranh cãi dữ dội (xem thêm bài về đại lượng vô cùng bé)

Quay lại với bài toán tìm hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số $y=f(x)=x^2$ tại điểm $M_0(x_0,f(x_0))$. Với phương pháp của mình, Fermat đã tìm ra hệ số góc đó là $2x_0$. Từ đó ta dễ dàng tìm được phương trình đường tiếp tuyến là

$$
y = 2x_0x -x_0^2
$$

Lập phương trình hoành độ giao điểm của đường tiếp tuyến trên với đồ thị hàm số $y=x^2$ ta được

$$
x^2=2x_0x-x_0^2
$$

Phương trình này có nghiệm duy nhất hay đường thẳng mà Fermat tìm ra đích thị là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho. Vậy phương pháp của ông không sai!

Newton và Leibniz

Phương pháp của Fermat tuy còn mơ hồ nhưng vẫn tiếp tục được sử dụng vì nó đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành phương pháp tính đạo hàm. Nổi bậc trong số các nhà Toán học thời đại “sau Fermat” và cũng là thời đại thịnh vượng của Calculus chính là Newton và Leibniz. Cả hai ông đều đồng thời tìm ra những ý tưởng quan trọng đầu tiên về vi phân và tích phân. Hai cái tên này trong tác phẩm của Newton lần lượt là fluxion và fluent, còn của Leibniz lần lượt là differential và integral. Ngày nay chúng ta chọn cách đặt tên của Leibniz để nói về vi phân và tích phân.

Xem chuyện vui về Newton và Leibniz

Vào ngày 24/10/1676, Newton gởi lá thư thứ hai (và cũng là cuối cùng) của mình cho Leibniz để thông báo về các thành quả mà mình tìm được về vi phân và tích phân. Tuy nhiên ông sợ bị lộ mánh nên đã cố tình xáo trộn các chữ cái ở một câu kết quả quan trọng. Tuy nhiên Leibniz đã dịch được chúng và hiểu rằng Newton đang nói tới vi phân và tích phân, thứ mà mình cũng đã tìm ra rồi. Thế là ông quyết định viết thư hồi âm cho Newton và nói tường tận các kết quả nghiên cứu của mình để hy vọng hai người có thể hợp tác làm việc tiếp. Có lẽ vì bị bẽ bàng nên Newton đã không bao giờ hồi âm lại bức thư ấy.

Newton “chạm” đến khái niệm giới hạn khi làm việc với những đại lượng vô cùng nhỏ. Vấn đề ông nghiên cứu là về chuyển động. Ông cố gắng tìm vận tốc tức thời của một vật tại một điểm bất kỳ. Thường thì vận tốc được tính bằng quãng đường chia cho thời gian, Newton tự hỏi khi chúng ta xét hai khoảng thời gian kế cận nhau, cực nhỏ, nhỏ như ý tưởng của các đại lượng vô cùng bé thì vận tốc tại điểm đang xét là bao nhiêu?

Bạn có biết, ký hiệu $\dot{x}$, vốn để chỉ đạo hàm theo biến thời gian $t$ là ký hiệu được sáng tạo bởi Newton?

Tuy ông không chính thức định nghĩa giới hạn dưới dạng $ε - δ$ như ngày nay chúng ta vẫn học nhưng vô tình ông đã sử dụng ý tưởng về chúng trong cách giải thích về giới hạn của mình. Ông cũng là người đầu tiên đề xướng thuật ngữ “giới hạn”, xuất phát từ chữ Latin “Limes” có nghĩa là “bờ, mép, biên giới”.

Định nghĩa đầy đủ của giới hạn

Nhà Toán học người Pháp Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) là người đã đưa ra định nghĩa về giới hạn, tuy nhiên ông định nghĩa dựa trên các đại lượng biến thiên (variable quantity). Ông không dùng khái niệm về $\varepsilon – \delta$ nhưng vô tình trong các chứng minh toán học của mình, ông lại sử dụng đến chúng⁴. Ông định nghia sự liên tục của hàm số $y=f(x)$ bằng cách mô tả sự thay đổi vô cùng nhỏ của $x$ là cần thiết để sinh ra sự thay đổi vô cùng nhỏ của $y$ trong giáo trình giải tích của ông (Cours d’analyse).

Bạn có biết, Cauchy là người đầu tiên có công phát triển ngành giải tích phức? Ngành học áp dụng giới hạn và các phương pháp tính của số thực lên các hàm số với biến phức.

Mãi đến sau này, hai nhà Toán học Bernard Bolzano (1781-1848) và Karl Weierstrass (1815-1897) mới đưa ra định nghĩa chính thức về giới hạn dưới hình thức $\varepsilon – \delta$ mà chúng ta vẫn sử dụng cho đến ngày nay. Có nhiều người tranh cãi rằng hai ông này nhờ ý tưởng của Cauchy mới định nghĩa được như vậy. Bolzano định nghĩa nó nhưng ông không công bố nó lúc còn sống, mãi sau này Weierstrass cũng tìm ra ý niệm tương tự nên xem như cả hai ông đều có công tìm ra định nghĩa này.

Kết

Vậy là chúng ta đã có một cái nhìn bao quát về quá trình lịch sử của việc hình thành khái niệm giới hạn. Từ chỗ ý nghĩ điên rồ của Zeno về các nghịch lý, đến việc hình thành các ý niệm về các đại lượng vô cùng nhỏ. Rồi việc dùng các đại lượng ấy trong việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến đường cong của Fermat hay tìm vận tốc tức thời của Newton mà ngành toán học về các phép tính vi phân và tích phân ra đời. Định nghĩa $\varepsilon – \delta$ của giới hạn cũng trưởng thành và ổn định từ đấy bởi Cauchy, Bolzano và Weierstrass.

Sơ đồ tổng hợp quá trình hình thành ý tưởng giới hạn trình bày bởi Math2IT.

Một quá trình rất dài như vậy, các nhà Toán học với những bộ óc khó có ai sánh kịp mới có thể hiểu và hình thành nên khái niệm giới hạn thì chúng ta, những người rất bình thường và không thông minh bằng, tiếp nhận nó một cách rất khiêng cưỡng và khó chịu. Ở bài viết tiếp theo, tôi sẽ cùng bạn hiểu về giới hạn một cách tường minh và gần gũi nhất.

Tham khảo thêm

David M. Burton. The history of mathematics: an introduction. Seventh edition. McGrawHill.
Victor J. Katz. A history of mathematics. An introduction. 3rd edition. Addison-Wesley.
Sách Đại số và Giải tích lớp 11, NXB Giáo Dục năm 2000.
Senior topic 3a. Australian Mathematical Sciences Institute (AMSI).