Một vài suy nghĩ “khác” trong giải toán hình học

Đôi khi, một vấn đề khó không hẳn là bởi vì bản thân nó khó, mà là do ta “nhìn” vấn đề ở một khía cạnh khó. Thời đi học, chắc hẳn chúng ta không ít lần đau đầu với những những bài toán khó, đặc biệt là hình học phẳng hay bất đẳng thức chẳng hạn.

Bài viết này muốn giới thiệu đến các bạn một cách nhìn “khác”, hi vọng điều này sẽ giúp ích cho các bạn ngay cả khi các bạn không còn học phổ thông nữa.

Bài toán 1 (Toán lớp 7)

Bài toán

Cho tam giác $ABC$, $AM$ là đường trung tuyến. Trên đoạn thẳng $AM$, lấy điểm $G$ sao cho $AG=\frac{2}{3}AM$. Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Với kiến thức hạn hẹp của lớp 7 (chỉ có trọng tâm là giao của 3 đường trung tuyến, 3 đường trung tuyến đồng quy và trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:3) thì việc chứng minh bài toán này theo kiểu dùng giả thiết để chứng minh kết luận là cực kì khó khăn !

bt1 - Một vài suy nghĩ "khác" trong giải toán hình học

Tuy nhiên, nếu ta có thể “nhìn” theo một cách có vẻ khác: Gọi $G’$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Khi đó, $G’$ nằm trên tia $AM$ (do $AM$ là trung tuyến) và $AG’=\frac{2}{3}AM$ (tính chất trọng tâm) thì ta dễ dàng có được $G’$ và $G$ đều nằm trên tia $AM$ và $AG=AG’=\frac{2}{3}AM$. Do đó $G$ và $G’$ trùng nhau và ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Như vậy, điểm mấu chốt ở đây là ta đã thay đổi vai trò của giả thiết (cái đã cho) và kết luận (cái cần chứng minh).

Bài toán 2 (Lớp 7)

Bài toán

Cho tam giác $ABC$. Trên đoạn $AB, AC$, lần lượt lấy điểm $M, N$ sao cho $AM=MB, AN=2NC$. Đường thẳng $BC$ cắt $MN$ tại $P$. Chứng minh rằng $C$ là trung điểm $BP$.

Bài toán này cũng lại là một “củ khoai” ở lớp 7. Cho dù ngay cả ở các lớp lớn hơn, việc kẻ thêm đường phụ để giải quyết bài này bằng định lý Thales cũng sẽ gây không ít khó khăn trong việc lý luận.

bt2 - Một vài suy nghĩ "khác" trong giải toán hình học

Lại một lần nữa, ta hãy suy nghĩ khác đi. Vì ta cần trung điểm, ta hãy gọi $P’$ là điểm sao cho $C$ là trung điểm của $BP’$. Khi đó, tam giác $ABP’$ có $AC$ là trung tuyến, điểm $N$ trên đoạn $AC$ và $AN=\frac{2}{3}AC$. Theo bài toán 1 ta suy ra $N$ là trọng tâm tam giác $ABP’$. Suy ra rằng $N$ nằm trên $MP’$ hay $P’=MN\cap BC$. Do 2 đường thẳng phân biệt chỉ có thể cắt nhau tại 1 điểm nên $P$ và $P’$ trùng nhau, nghĩa là $C$ là trung điểm $BP$.

Mấu chốt của bài toán này lại là đổi vai trò của giả thiết và kết luận!

Bài toán 3 (tuyển sinh lớp 10)

Bài toán

Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $M$ kẻ 2 tiếp tuyến $MA, MB$ ($A, B$ là tiếp điểm) và một cát tuyến $MCD$ ($C,D$ nằm trên $(O)$). Tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh rằng $ND$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

Đây là một bài toán khá phổ biến trong chương trình lớp 9. Một lối suy nghĩ thông thường (lấy giả thiết đi chứng minh kết luận) sẽ gây nên khá nhiều ngộ nhận và phức tạp trong bài toán này. Bởi lẽ giả thiết thẳng hàng của $A, B, N$ khó cho ta được thứ ta muốn.

bt3 - Một vài suy nghĩ "khác" trong giải toán hình học

Bây giờ, ta lại xem như đã có tiếp tuyến tại điểm $D$ như yêu cầu. Thế thì ta sẽ gọi $N’$ là giao điểm 2 tiếp tuyến tại $C$ và $D$. Đặt $K=CD\cap ON’, I=AB\cap OM$. Dễ dàng có được $OK.ON’=OC^2=OA^2=Oi.OM$ nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông. Từ đó lại suy ra được 2 tam giác $OIN’$ và tam giác $OKM$ đồng dạng (cạnh – góc –cạnh). Nghĩa là $N’I\perp OM$. Suy ra $N’$ nằm trên $AB$ hay $N’$ là giao điểm của $AB$ với tiếp tuyến của đường tròn tại $C$. Tức là điểm $N’$ trùng với $N$ và ta suy ra được $ND$ là tiếp tuyến của $(O)$.

Điểm chung của tất cả các bài toán trên đó là khi một điểm (hay một bài toán) có nhiều cách để định nghĩa nó thì ta hãy thay đổi các định nghĩa tương đương với định nghĩa ban đầu sao cho phù hợp và “đẹp” nhất. Tất nhiên là điều này vẫn còn đúng cho các vấn đề “cao cấp” hơn. Xin để cho các bạn có thể tự ngẫm thêm để cảm nhận.